Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Рисунок дан по условию, дополнительных построений к нему не требуется, поэтому ограничимся рассуждениями и вычислениями.
В треугольнике МОN стороны МО и ОN равны, так как они являются радиусами окружности, внутри которой расположен этот треугольник. Значит, это равнобедренный треугольник, а у равнобедренного треугольника, как известно, углы при основании равны, то есть:
∠MNP = ∠NМО = 18°.
Сумма углов любого треугольника равна 180°, значит, чтобы найти величину искомого центрального угла ∠MON, нужно из 180° вычесть два известных нам угла, оба из которых равны по 18°:
∠MON = 180 - 18 - 18 = 144°.
Ответ: ∠MON = 144°.
                                                                              

Можно решить ещё и таким путём:
1)  ∠MNP является вписанным. Так называют угол, вершина которого лежит на само́й окружности, а обе стороны эту окружность пересекают. А есть такая теорема: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Соотв-но, мера дуги вдвое больше величины её вписанного угла. Значит, градусная мера ◡MP равна 2 * 18° = 36°.
2) Угол MOP опирается на ту же самую дугу MP. Но угол MOP не вписанный, а центральный. Центральный угол по своей величине равен дуге, на которую он опирается. Значит, ∠MOP = 36°.
3) Углы MOP и MON являются смежными. У них общая вершина — точка O (центр нашей окружности), а стороны PO и ON вместе образуют диаметр NP. Смежные углы в сумме дают 180°. Величину угла MOP мы уже нашли в пункте № 2. Значит, ∠MON = 180° – ∠MOP = 180° – 36° = 144°.

Рассматривая треугольник MON я могу с уверенностью утверждать, что он равнобедренный.
На каком основании?
Да на том, что его боковые стороны , MO и ON ,  есть по сути радиусы одной и той же окружности с центром О.
Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что углы при основании равны.
Следовательно угол MNO равен углу ОМN.
MNO угол нам известен по условию (он же ∠MNP), равен 18°.
Мы знаем теперь величину двух углов треугольника, можем вычислить третий (искомый) ∠MON.
Вспомним, что сумма углов в треугольнике , в любом треугольнике, равна 180° .
180 - 18 - 18 = 144°.
Это и будет градусная мера искомого угла.