Основания трапеции относятся как 1:2. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая,  параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Ну давайте нарисуем такую трапецию:
Тут дополнительно нарисована ещё ипрямая (K'M'), которая находится посередине между КМ и АВ.
Вполне очевидно, что отрезки CD, KM, K'M' и АВ, идущие с равным шагом, если смотреть сверху вниз, образуют арифметическую. прогрессию. И поскольку АВ ровно вдвое длиннее CD, то длины этих четырёх отрезков относятся как 1 : 4/3 : 5/3 : 2. Стало быть, в итоге мы имеем нижнюю половинку трапеции, у которой основания 1 и 4/3, а высота 1 попугай, и нижнюю половинку трапеции, у которой основания 4/3 и 2, а высота - 2 попугая. Это следует из подобия треугольников CDO и ABO и того, что один из них вдвое меньше другого.
Собсно, всё. Из соотношения полусумм оснований и высот не штука найти соотношение площадей.