Задачка: На празднование Нового Года собрались пять друзей со следующими именами: Андрей, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий. Известно, что среди них присутствуют следующие фамилии: Андреев, Борисов, Владимиров, Григорьев и Дмитриев. Также известно, что Андреев старше Андрея на 1 год, Борисов старше Бориса на 2 года, Владимиров старше Владимира на 3 года, а Григорьев старше Григория на 4 года. Что вы можете сказать про возраст о паре Дмитрий и Дмитриев (кто старше и насколько)?

Пусть:
а, б, в, г, д - имена этих друзей,
А, Б, В, Г, Д - фамилии этих друзей.
Известно, что разность их возрастов такова:
А - а = 1,
Б - б = 2,
В - в = 3,
Г - г = 4,
предположим, что распределение имён и фамилий таково:
А - аБ = 1,
тогда:
аБ - бВ = 2,
тогда:
бВ - вГ = 3,
тогда:
вГ - гД = 4,
тогда остаётся, что А у нас дА,
откуда следует,
что Дмитрий старше Дмитриева на:
1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Ответ: Дмитрий старше Дмитриева на 10 лет.
                                                                              

Предположим сначала, что если среди друзей есть Андрей Борисов (АБ), то может быть Борис Андреев (БА). Тогда, из первого условия, БА старше АБ на 1 год, а из второго - АБ старше БА на 2 года, что противоречит первому условию. Т.е. сразу делаем вывод, что таких пар быть не может. И если среди друзей есть, например, Владимир Дмитриев, то Дмитрия Владимирова быть уже не может.
Пусть тогда Андреев будет Борисом (БА), а Андрей тогда — Владимировым (АВ). Первый старше на 1 год.
БА — 1 — АВ.
Борисов старше первого на 2 года. Владимиром он быть не может, т.к. Владимир моложе второго. Значит, пусть будет пока Борисов Григорием (ГБ). Т.е. Григорий Борисов (ГБ) старше Бориса Андреева (БА) на 2 года.
ГБ — 2 — БА.
Остаются сочетания: Владимир Дмитриев (ВД) и Дмитрий Григорьев (ДГ).
Владимир Дмитриев моложе Андрея Владимирова на 3 года:
АВ — 3 — ВД,
а Дмитрий Григорьев старше Григория Борисова на 4 года:
ДГ — 4 — ГБ.
Вроде, никаких несоответствий нет.
Тогда получается, что Дмитрий старше Дмитриева.
На сколько?
ДГ — 4 — ГБ — 2 — БА — 1 — АВ — 3 — ВД.
Получается разница в 10 лет.

Можно гораздо проще. Пусть имена - это маленькая буква начала имени. Фамилии  - это начальная большая буква. Сумма возрастов всех друзей одно и то же число:
Поэтому а+б+в+г+д = А+Б+В+Г+Д. Известно что А = а+1; Б = б+2; В = в+3; Г = г+4. Подставим и приведем подобные:
а+б+в+г+д = а+1 + б+2 + в+3 + г+4 + Д
д = 10 + Д.
Получается, что Дмитрий старше Дмитриева на 10 лет
Ответ: Дмитрий старше Дмитриева на 10 лет

Признаюсь, что вся эта путаница в именах не вызвала у меня такого ажиотажа. Я сразу же углядела во всей этой чехарде арифметическую прогрессию. Основание не важно, важен прирост дискриминанта равного 1 у четырёх членов.
А он равен:
Sn = n*((2a1 + d(n - 1))/2.
При:
a = 1 = d.
n = 4.
Вычисляю:
Sn = 4*((2*1 + 1*(4 - 1))/2.
Sn = 4*5/2 = 10.
Проверка:
1 + 2 + 3 + 4 = 10. Сходится.
Проверка завершилась успешно!
До меня все уже рассудили верно. Но мне нужно было подвести под базу.
Мой ответ: возраст в паре Дмитрий старше Дмитриева на 10 лет.