В XIX веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс - будущий великий математик. Как он это сделал?

Это кажется был Гаусс, да простит меня тот великий. который открыл арифметическую прогрессию.О-о, Вы написали об этом.Да уж, подметил же что 1+100 = 2+99=3+98, и так далее, и сумма эта равно 101.Но пар сумм таких равно числу чисел от 1 до 100 делённое на 2.Вот вам и формула :
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = [(1 + 100) \ 2 ] * 100 = 101 *100 \ 2 = 5500 .
Вот и вывел Гаусс формулу для суммы n чисел в прогрессии, в которой есть разность между двумя рядом стоящими числами равная d :
S(n) = [(b1+bn)/2]*d , где в сумме в квадратных скобках фигурируют числа арифметической прогрессии, а  n , повторяюсь . число этих членов.
                                                                              

Две цифры из этого списка в сумме дают 100, к примеру 1+99=100; 2+98=100; 3+97=100 и так далее, таким образом у нас 49 пар цифр общая сумма которых 4900 и одна невостребованная цифра 50, значит 4900+50= 4950. Думаю так, если от одного до ста включительно то сумма 5050.

от 1 до 49 -49 чисел от 51 до 99 тоже 49 чисел значит сумма всех целых чисел вычисляется так
(1+99)*49+50+100=100*49+150=4900+150=5050. Конечно смотря в каком классе учится ученик если в 10 то ничего выдающегося, а если в начальной школе конечно он гений в математике.

Можно считать по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии: Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2 = (2 + 99) *100 /2 = 10100/2 = 5050
Где a1 - первый член прогрессии, n - номер последнего члена из тех, что суммируем, d - шаг прогрессии.
Можно рассудить, что тут 50 пар чисел, каждая из которых (если заходить с концов списка) в сумме даёт 101: допустим, 1+100, 2+99 и т.д. Перемножаем 101 на количество пар, получаем опять же 5050. Считается, что Гаусс воспользовался именно этим способом, интуитивно доступным и не требующим знания каких-либо формул.

На первый взгляд довольно сложная задачка, но если немножко подумать. То можно взять 49 пар чисел, сумма которых будет равняться 100, к примеру 99 и 1 , 98 и 2 и.т.д. 51 и 49. В конце у нас останется два непарных числа пятьдесят и сто, а 49 * 100 + 50 + 100 = 5050, таким образом мы нашли сумму всех чисел от 1 до 100. В уме такую процедуру провести совсем непросто, но если математический склад ума, то в этом нет ничего невозможного. Спасибо за интересную задачку!

Это очень известная история. Он заметил, что если сложить 1 число с последним, 2 с предпоследним, и так далее, то будет:
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 + 51 = 101
И таких пар чисел ровно 100/2 = 50.
Остается умножить 101 на 50 и получить ответ 5050.
На самом деле это формула суммы арифметической прогрессии:
S(n) = (a1 + an)*n/2

Это формула нахождения n члена арифметической прогрессии при n=100 и d=1.
Сумма n членов определяется по формуле: Sn=(2a1+d*(n-1))*n/2.
И тогда сумма 100 первых чисел:
S100=(2+99)*100/2=5050.
Думаю для будущего математика применить формулу за несколько секунд не составило труда.