(17 + x)^(1/4) - (17 - x)^(1/4) = 2
Ответ я знаю: x = 12√2
Вопрос: как это решить?

Можно вот так. Идея уже, правда была. Но я это знал. Стандартный переход к системе, часто применяется при решений иррациональных уравнений
                                                                              

Вот так:
(17 + x)=y^4 и (17 - x)=z^4 => y-z=2 и y^4+z^4=34 => y1,2=1+-2^(1/2) и z1,2=-1+-2^(1/2)
=> x=y1^4-17=(1+2^(1/2))^4-17=12*(2^(1/2))
P.S. Если непонятно, могу расписать, но по факту основную идею передал.
P.P.S. Систему решить нужно, надеюсь сможете, она простая.

Два способа.
1-й Путем возведения в квадрат несколько раз. Получим би-квадратное уравнение. Единственное там получаются большие коэффициенты и приходится пользоваться калькулятором. И за счет возведения в квадрат несколько раз, получаются лишние корни. Которые надо проверять в начальном уравнении. И проверку проще делать тоже с калькулятором.
(⁴√(17+x) - ⁴√(17-x))² = 4
√(17+x)+√(17-x) = 4+2√(17²-x²)
(√(17+x)+√(17-x))² = (4+2√(17²-x²))²
17+x+17-x +2√(17²-x²) = 16 + 16√(17²-x²) + 4•(289-x²)
14√(17²-x²) = -4x² + 2•569
(7√(17²-x²))² = (-2x² + 569)²
4x⁴-2227x²+309600 = 0
замена t=x²
D = 5929
t₁=(2227-√5929)/8 = 1075/4
t₂=(2227+√5929)/8 = 288
x₁,₂ = ±5/2•√43 - эти корни при проверке не подходят
x₃ = -12√2 - этот корень при проверке тоже не подходит
x₄ = 12√2 - этот корень подходит
2-й Путем возведения в 4-ю степень и заменой переменой. Потом разложить уравнение 4-й степени на множители. И решать. Там тоже будет лишний корень.
(⁴√(17-x))⁴ = (2 - ⁴√(17+x)))⁴
17-x = 16 + 2x - 32•⁴√(17+x) + 24√(17+x) - 8•⁴√(17+x)³ + (17 + x)
18 - 2•(17 + x) + 32•⁴√(17+x) - 24√(17+x) + 8•⁴√(17+x)³ = 0
замена y=⁴√(17+x)
-2y⁴ + 8y³ - 24y² +32y +18 = 0
-2•(y² - 2y - 1)•(y² - 2y + 9) = 0
y² - 2y + 9 = 0
D = 4 - 36 < 0 -  нет корней
y² - 2y - 1 = 0
D = 4 + 4 = 8
y₁ = (2-2√2)/2 = 1-√2; - отрицательный корень
y₂ = (2+2√2)/2 = 1+√2;
1+√2 = ⁴√(17+x)
(1+√2)⁴ = 17 + x
1 + 4√2 + 8 + 4 + 2 + 8√2 = 17 + x
x= 12√2

В итоге все ошибок понаставили. Пришлось самому решать. ОлегТ правильно начал - надо возвести в квадрат два раза.
(⁴√(17+x) - ⁴√(17-x))² = 4
√(17+x) + √(17-x) - 2⁴√(17²-x²) = 4
√(17+x) + √(17-x) = 4 + 2⁴√(17²-x²)
(√(17+x) + √(17-x))² = (4 + 2⁴√(289-x²))²
17 + x + 17 - x + 2√(289-x²) = 16 + 16⁴√(289-x²) + 4√(289-x²)
34 + 2√(289-x²) = 16 + 16⁴√(289-x²) + 4√(289-x²)
0 = -18 + 16⁴√(289-x²) + 2√(289-x²)
Делим всё на 2 и сокращаем подобные.
-9 + 8⁴√(289-x²) + √(289-x²) = 0
Замена ⁴√(289-x²) = t >= 0, потому что корень 4 степени - арифметический, то есть неотрицательный.
t^2 + 8t - 9 = 0
(t + 9)(t - 1) = 0
t = -9 < 0 - не подходит.
t = 1 - подходит.
⁴√(289-x²) = 1
289 - x² = 1
x^2 = 288
x1 = -12√2 - не подходит.
x2 = 12√2 - подходит.

У меня не получилось решить. Но мой ответ почему-то численно слишком похож на ваш -- на доли единицы больше вашего. Если вы получили свой численными методами, то тогда есть надежда, что мой наивный подход правилен. Но если 12*sqrt(2) -- контрольный ответ из учебника, то увы и ах.
Итак. Все знают простую формулу (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Обозначим u=17+x, v=17-x. Тогда, уравнение u^(1/4)+v^(1/4)=2 можно преобразовать в (u^(1/6)+v^(1/6))(u^ (1/6)-v^(1/6))=2.
Логарифмирование даёт log(u^(1/6)+v^(1/6))�+log(u^(1/6)-v^(1/6))=log(2). Перенесём log(2) в левую часть и свернём log(u^(1/6)+v^(1/6))-log(2) до log((u^(1/6)+v^(1/6)�)/2). А log(u^(1/6)-v^(1/6)) перенесём в правую часть у уберём логарифмы (так можно делать?). Получится u^(1/6)+v^(1/6)=2v^(�1/6)-2u^(1/6). Собираем подобные слагаемые: 3u^(1/6)=v^(1/6). Возводим обе части в шестую степень и подставляем u и v, получаем 729(17+x)=17-x => 12393+729x=17-x => 12376=728x => x=12376/728 => x=17.
Очевидно, 17 != 12*sqrt(2), но, в то же время, 17-12*sqrt(2) ~ 0.02943..., т.е. ошибка меньше 0.1. Как я уже говорил, почти совпадение очень подозрительно. Я мог где-то ошибиться, но вдруг...