Один момент остается неясным. Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Каким должны быть его стороны чтобы площадь треугольника была наибольшей?

   1. Обозначим:



2a - основание равнобедренного треугольника;


b - боковая сторона;


h - высота, проведенная к основанию.





   2. Составим уравнение для периметра треугольника:



2a + 2b = 18;


a + b = 9;


b = 9 - a.





   3. Найдем высоту треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора:



a^2 + h^2 = b^2;


h^2 = b^2 - a^2 = (9 - a)^2 - a^2 = 81 - 18a + a^2 - a^2 = 81 - 18a = 9(9 - 2a);


h = √9(9 - 2a) = 3√(9 - 2a).





   4. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты:


      S = 1/2 * 2a * h = ah = 3a√(9 - 2a).


   5. Найдем максимум функции f(a) = S^2:



f(a) = 9a^2(9 - 2a) = 9(9a^2 - 2a^3);


f'(a) = 9(18a - 6a^2) = 54a(3 - a) = 0.





      a = 3 (см) - точка максимума, в которой f(a), а значит и S, принимает наибольшее значение.


      b = 9 - a = 9 - 3 = 6 (см).


   6. Стороны треугольника:



2a = 6 см;


b = 6 см.





   Ответ. Треугольник должен быть равносторонним.