Как в уме извлечь кубический корень из числа, если достоверно известно что в ответе будет целое число в диапазоне от 1 до 100.

Грустный Роджер дал Вам алгоритм извлечения кубического корня из любого числа, не обратив внимания, что Вы предлагали извлекать кубический корень из точного куба двузначного числа.
Тогда значительно проще. Сначала, как предлагает Грустный Роджер, делите число на 1000, и смотрите, какое число при возведении в куб дает число, не превышающее этой целой части. Это будут десятки искомого числа. А единицы еще проще. Вот посмотрите примеры. Слева двузначное число, справа его куб. Как видите, если число заканчивается на 1, 4, 5, 6, 9 то и его ТОЧНЫЙ куб заканчивается на ту же цифру. А 2 и 8 и 3 и 7 меняются местами. Надеюсь понятно.
41  68921
42  74088
43  79507
44  85184
45  91125
45  91125
46  97336
47  103823
48  110592
49  117649
                                                                              

Для начала извлечь его хотя бы "с точностью до 10". То есть разделить число на 1000, если оно большое, и прикинуть, к кубу какого простенького числа (от 1 до 10) ближе всего результат. Ну или между кубами каких двух чисел. Уж кубы от 1 до 9 сосчитать в уме не штука (ваще-то можно и помнить).
Ну а дальше просто воспользоваться приближённой формулой (а+х)³ ≈ а³ + 3а²х. То есть надо сосчитать разность между кубом "простого числа" и исходным числом, поделить её на 3, на квадрат найденного "простого" основания и прибавить к найденному простому числу.
Ну пусть надо извлечь корень из 123456. Это меньше миллиона, так что кубический корень явно меньше 100. Делим на 1000, чтоб было проще, получаем круглым счётом 123. Ближайший куб - это 125 (5*5*5). От исходного числа (123,456) это отличается на 1,544. Делим -1,544 на 25 и на 3 - получаем примерно -0,021 (это не тире, это знаки "минус"). Это надо прибавить к выбранному основанию - получается 4,979. Значит, исходный корень равен 49,79.
А теперь проверяем: 49,79³ ≈ 123432. Вполне достаточная точность.

Исключительно просто.
Для начала необходимо заучить кубы чисел от одного до 10.
Предположим корень надо извлечь из числа 110592. Определяем вторую цифру возведенного в куб числа. Последняя цифра получившегося числа 2, ищем в правом столбце число, оканчивающееся на 2. На 2 оканчивается куб 8. Значит вторая цифра искомого числа 8.
Далее отбрасываем три последних цифры в нашем кубе, получаем 110. Опять мысленно смотрим в нашу табличку. Число 110 находится между кубами 4 и 5. Выбираем меньшую цифру, 4. Это и будет первая цифра загаданного числа. Итого ответ 48.
Тренируйтесь!