Земной шар обтянули веревкой по экватору. Земля считается шаром!
Длина веревки (экватора) известна: C = 2pi*R = 40*10^6 м.
После этого веревку удлинили на 1 м, и веревку натянули в одной точке.
Получилось примерно как на рисунке.
Внимание, вопрос: Как найти высоту этой веревки в высшей точке?
Эта задача была задана на вступительных экзаменах в МГУ лет 25-30 назад.
Ответ такой: высота примерно равна высоте самого здания МГУ, около 200 м.
Именно поэтому ее в МГУ и давали.
Но как это найти?

Предлагаю вариант решения задачи без подбора.
Вычисляем радиус Земли R=40000000/(2Pi)=6366198 м.
Длина дуги DC=αR.
Согласно условию BC=DC+0,5=αR+0,5.
В свою очередь BC=tgα*R.
Приравняем правые части tgα*R=αR+0,5.
В виду малости угла α из ряда Маклорена возьмем два первых члена tgα=α+α³/3.
Тогда R(α+α³/3) = αR+0,5.
После преобразования имеем α³=1,5/R, откуда  α=³√(1,5/6366198)=0,0061764.
Далее определяем высоту натянутой веревки.
OB=R/cosα, следовательно H=OB-R= R/cosα-R.
H=6366198(1/cosα-1)≈121,4.
                                                                              

Сделаем сечение в плоскости, обозначенной верёвкой. Обозначим вершину получившегося угла С. Очевидно, что лучи, исходящие из вершины С касаются окружности, получившейся в сечении шара. Обозначим точки касания А и В. К точкам касания из центра окружности проведём радиусы ОА и ОВ. Соединим отрезком точки С и О. Точку пересечения ОС с окружностью, обозначим М. Угол АОС обозначим альфа. Длина дуги АМ равна R*альфа. Тогда АС=(R*альфа+0,5)
Из прямоугольного треугольника ОАС ОС=R/cos(альфа), Н=R/cos(альфа)-R=R*(1/cos(альфа)-1)
АС=R*tg(альфа), получаем: R*альфа+0,5=R*tg(альфа), или альфа=tg(альфа)-0,5/R.
Принимая длину окружности равной 40000000 м, находим R=20000000/Пи. Используя полученное значение R, решаем уравнение альфа=tg(альфа)-0,5/R. Лично я такие уравнения решать не умею, поэтому решал его методом подбора (в Excel). Получил альфа=0,006176 радиан или 0,3539°.
Тогда Н получается 121,4 м.

Решение этой задачи элементарно и как говорится для детей 5 класса. Вся проблема состоит в том, что в данном случае существуют два решения. Первое решение по законам формальной логики и элементарным построениям из лишней веревки длиной в метр равнобедреннего треугольника площадь которого равна 0,5 кв. метра , так что и кран туда не пролезет и высоту этого треугольника в 200 метров не сделаешь. Да конечно  вы ожидаете другого решения, как и профессора из МГУ. Вот только считать я не буду, но и это элементарно. В данном случае также нужно определить площадь треугольника который вы привели в пояснении. И вот тут профессора исходили из расчета площадей окружности по экватору и после того, как длину увеличили на 1 метр.  Естественно вначале рассчитывается радиус по приведенным вами формулам как говорится до и поле увеличения длины  веревки. И вот тут и происходит парадокс , я бы назвал его парадоксом квадратов больших чисел.  При расчете увеличения площади  после увеличения длины окружности  экватора вы получаете солидные цифры площади треугольника  который вы построили в пояснении вопроса и тут действительно его высота будет как минимум 200 метров.
Да маленькое пояснение площадь экватора равна  Пи R2  а после увеличения длины веревки Пи(R+0,15)2 .  и вот разница этих площадей и даст вам приличную площадь  нарисованного в пояснении треугольника.  Да  Именно 0.15 метра это увеличение радиуса  после увеличения длины веревки или длины окружности на 1 метр. Эти данные получены в ответе на вторую задачу.

Должен признать, что тоже решал данную задачу подбором в Эксель, и ответ получился примерно такой же, как у Rafail - очень интересно стало ее решить. Последовательность решения такая:
Находим радиус Земли.Строим числовое уравнение окружности (Земли) - задаем координату Х, согласно уравнению x^2+y^2=R^2 окружности с центром по координатам (0;0) получаем координату У.По имеющимся координатам точки окружности вычисляем угол отклонения радиуса, проведенного к этой точке, от центральной оси (град.).Вычисляем длину дуги окружности для полученного угла по формуле: Пи*R*угол/180, где R - радиус Земли.Определяем коэффициенты уравнения касательной к окружности в данной точке.По координатам определяем длину отрезка касательной от точки касания с окружностью до точки пересечения с вертикальной осью (Х = 0, У = коэффициенту В).Определяем разницу длин данного отрезка и полученной ранее длины дуги, когда эта разница станет равна 0,5 метра - мы нашли искомую точку (ведь длина веревки равномерно распределяется с двух сторон от точки "подвеса"). Для полученной касательной определяем разницу между ее точкой пересечения с вертикальной осью (коэффициент В) и радиусом Земли - т. е. точкой пересечения окружности с вертикальной осью. Получаем ответ - 121,4309 метра.Для наглядности - вот обрезанный экселевский скриншот:

Стянем дугу АС хордой АС и ввиду малости участка окружности Земли примем их равными по длине. Будем рассматривать этот участок как плоский, может здание стоит в низине. Да и автор вопроса утверждает, что высота натянутой веревки  в высшей точке примерно равна высоте самого здания МГУ. Решение следует считать приближенным, с целью выяснить соизмеримость высот.
Тогда пусть DС=b, OD=r, DB=h, BC=b-0,5. На основании подобия треугольников DOC и DBC,
r/b=b/h, тогда  r h=b² (1). 
По теореме Пифагора (см. треугольник DBC) имеем
b²=(b+0,5)²-h², после преобразования h²=b+0,25.
Расстояние 0,5 м исключим из формулы, так как оно на много меньше b, равного десяткам километров, что практически не повлияет на результат.
h²=b (2). Подставляем значение b в выражение (1), получаем заключительную формулу и вычисляем значение высоты натянутой веревки.
h^4= r*h; h³=r; h=³√r (3); h=³√6366198≈185,3 м.
Сравним полученный результат с главным корпусом МГУ, высота — 183,2 м, со шпилем — 240 м.
Самый главный математический фокус, в не приближенном в данном случае решении задачи. А в том, что при упрощении получили формулу h=³√r, у которой отсутствует удлинение веревки.
Точный расчет позволяет определить необходимую величину удлинения веревки - 2,7786 м. Тогда  высота натянутой веревки в высшей точке достигнет шпиля МГУ.