У меня есть вопрос.  Исследовать на экстремум функцию z=3xy−x^2−3y^2−6x+9y−4.

Z = 3 * X * Y − X^2 – 3 * Y^2 – 6 * X + 9 * Y − 4.

Находим частные производные.

dZ/dX = 3 * Y – 2 * X – 6;

dZ/DY = 3 * X – 6 * Y + 9;

Решим систему уравнений

3 * Y – 2 * X – 6 = 0;

3 * X – 6 * Y + 9 = 0;

Первое уравнение умножаем на -2 и прибавим ко второму уравнению.

7 * Х + 21 = 0;

Х = -3.

3 * Y – 2 * (-3) – 6 = 0;

Y = 0.

Критическая точка (-3; 0).

Частные производные второго порядка.

dZ^2/dX^2 = 3.

dZ^2/dY^2 = -6.

dZ^2/dX * dY = d(3 * Y – 2 * X – 6)/dY = 3.

Значения частных производных в точке (-3; 0).

A = dZ^2/dX^2(-3; 0) = 3.

B = dZ^2/dY^2(-3; 0) = -6.

C = dZ^2/dX * dY(-3; 0) = 3.

A * C – B^2 = 3 * 3 – 36 = -30.

A < 0, следовательно в точке (-3; 0) точка максимума.

Z(-3; 0) = 5.