Дана правильная 6-угольная пирамида SABCDEF (S это вершина).
Длина ребра основания АВ=ВС=...=FA=1.
Длина боковых ребер AS=BS=...=FS=√3.
Точка М - середина бокового ребра CS.
Найти угол между прямыми AM и FB.
У меня получилось сложное выражение:
П/2+arcsin(√3/√28). Но я сомневаюсь.
Поможете решить?

Прямые AM и FB, скрещивающиеся прямые в трехмерном пространстве. Они не пересекаются и не параллельны. Угол между скрещивающимися прямыми – определяется углом между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. В данном случае наиболее рационально осуществить параллельный перенос только прямой ВF в плоскости основания пирамиды в точку А (см. Рис. 1), которая будет являться точкой пересечения прямых В₁F₁ и МА. Угол МАВ1= α  – искомый угол. Если вычислить стороны треугольника МАВ₁, то по теореме косинусов можно определить угол α.
 1) Определение стороны АВ₁.
Точка О центр основания пирамиды. Треугольник ВОА равносторонний. Тогда  АВ₁=√(1²-(1/2)²)=√3/2.
2) Определение стороны МВ₁.
На рис. 2 для лучшего восприятия изображена боковая грань пирамиды СSВ в плоскости которой находится сторона МВ₁. Из вершины грани проведем высоту к ребру СВ. Из треугольника ТСS следует, угол соsβ=√3/2. В треугольнике МСВ₁ сторона МС=√3/2, а СВ₁=3/2. По теореме косинусов В₁М=√(3/4+9/4-2х(√3/2)х(3/2)/(2√3))=3/2.
3) Определение стороны МА.
На рис. 3 в плоскости треугольника СSА расположен отрезок МА. Треугольник равносторонний, следовательно, угол λ=60⁰, а соsλ=1/2. В треугольнике МСА известны две стороны (МС=√3/2; СА=ВF=√3) и угол, тогда по теореме косинусов МА=√(3/4+3-2х√3х√3/4)=3/2.
4) Определение угла α.
Так как треугольник МАВ₁ равнобедренный, то соsβ=(АВ₁/2)/МА=(√3/4)/(3/2)=√3/6.
                                                                              

Вот решение. Прикрепляю фотографии. Если будут вопросы, или что - то непонятно - спрашивайте

В своё время, решив задачу, оказывается забыл самую малость - отправить решение. И, хоть "дорога ложка к обеду", всё же решил отправить, так как мне кажется, мой вариант наиболее прост и нагляден. Хоть и много написано, но всё предельно просто.
Поскольку прямые АМ и BF - скрещивающиеся, проще всего сделать "параллельный перенос" прямой BF. Перенесём её параллельно самой себе так, чтобы точка B совместилась с точкой А. Точку, соответствующую точке F, обозначим К. Тогда искомый угол КАМ (обозначим "а").  Для этого нужно вычислить стороны треугольника КАМ и применить к нему теорему косинусов. Очевидно, что АК=√3.
Очевидно, что АС=√3, и треугольник ASC - равносторонний. Тогда АМ - медиана (высота, биссектриса) этого треугольника и равна √3*√3/2=1,5.
Начертим высоту SO (О - центр основания) пирамиды, и соединим точку О с вершинами пирамиды. Из треугольника SOC по Пифагору получаем, высота пирамиды SO равна √2.
Опустим из точки М перпендикуляр ММ1 на плоскость основания. Из подобия треугольников SOC и MM1C получаем ММ1=√2/2. Очевидно, что ОМ1=М1С=1/2.
Из точки М1 проведём перпендикуляр М1М2 к ОD. Угол М1ОМ2 равен 60°, отсюда М1М2=√3/4, ОМ2=0,25, АМ2=1,25.
Тогда КМ=√((КА+M2M1)^2+(AM2)^2+(M1M)^2);
КМ=√((√3+√3/4)^2+(5/4)^2+(√2/2)^2)=√(75/16+25/16+2/4)=√(108/16)=1,5*√3
Теорема косинусов: (KМ)^2=(KA)^2+(AM)^2-2*(KA)*(AM)*cos(а)
(1,5*√3)^2=(√3)^2+1,5^2-2*1,5*√3*cos(a);
27/4=3+2,25-3*√3*cos(a);
cos(a)=(5,25-6,75)/(3*√3)=-1,5/(3*√3)=-√3/6. а=arccos(-√3/6), Он тупой. Тогда косинус угла, дополнительного к "а" равен √3/6, а меньший из углов, образованных скрещивающимися прямыми АМ и  BF равен arccos(√3/6).

Угол между скрещивающимися прямыми  AM и FB – определяется углом между проекцией прямой АМ на плоскость основания пирамиды и прямой FB лежащей в той же плоскости, то-есть искомый угол равен углу КРВ на фото Slave.  Уголы АВР=КВС=30°, угол КВР=120°-60°=60°, угол ВКР=90°/2= 45°, тогда искомый угол КРВ=180°-60°-45°=75°.