Я могу определить границы переменной через параметр, вот только ни при любом значении параметра эта система имеет решения. Что же значит "для всякого"?

Это значит показать (доказать), что в каком-то интервале значений параметра уравнение имеет какое-то решение, а в каком-то интервале параметров решений нет. Ну вот простейший пример:
х=√(а-2). Решить, это значит написать, что при а>=2, решениями уравнения будут значения √(а-2), а при а<2 решений нет.
Пример посложнее: х=√(а^2-5a+6). Здесь нужно показать, что решения у уравнения есть только когда а^2-5a+6>=0, т.е. когда либо a=<2, либо когда a>=3, а в интервале 2<a<3 решений нет.