Доброго Вам времени суток. Подскажите, пожалуйста: как доказать рациональность корня из числа (например, из четырёх), посредством доказательства иррациональности корня из числа от противного? Пытался самостоятельно разобраться в данном вопросе, но в Сети об этом нет ни слова, а в своих рассуждениях раз за разом приходил к тому, что квадратный корень из четырех—иррационален�, хотя это не так. На мой взгляд, если, вдруг, окажется, что данное доказательство не может доказать рациональность корня из числа, тогда придётся искать другое доказательство существования иррациональных чисел. Надеюсь, что Вам этот вопрос тоже интересен. Спасибо.

Во первых, какого корня? квадратного? тогда докажите рациональность квадратного корня из 2, 3, 5, 7 и т. д.
Как по мне, нужно доказывать, что корень любого порядка из простого числа кроме 0 и 1 есть число иррациональное.
По сути.
Поскольку рациональное число (причём m =/= n, хотя если равны, то можно сократить и будет +/-1) подразумевает под собой несокращаемость числителя и знаменателя на общий натуральный делитель отличный от единицы, то, в таком случае, если один из них парный, то другой - всегда непарный, поскольку в другом случае их можно сократить на 2. То-есть, из Вашего комментария, если m - парный, m и n не имеют общих делителей, то n - всегда будет непарный.
                                                                              

Пусть корень из любого натурального числа иррациональное число.
Тогда корень из 4 тоже иррациональное число.
Но с другой стороны 2 в квадрате равно 4 и :
L(2^2)=2,здесь L-символ квадратного корня.
Но ведь L(2^2)=L 4
Вот и противоречие, 2 то ведь не иррациональное число.

Тогда
m=2n
Далее любое п можно представить как:
n=(2^s) *k, где к-нечетное число, а s-некоторая степень.
Если п=1, то s=9 и k=1 тоже.
В общем случае:
m=(2^(s+1)) *k
m^2=(2^2(s+1)) *k^2
Это я к тому что можно получить некое нечетное число k, заменив им число п.