Задача такая: какова вероятность того, что случайно выбранная хорда в круге будет длиннее стороны правильного вписанного в этот круг треугольника? Эту задачу решали еще в XVII веке, но признали ее некорректной. А почему?

Уважаемы simple, увы, решил задачу неправильно. Несколько ошибок. Самая главная - площади здесь ни при чём. А некорректность задачи состоит в том, что в условии не говорится, что такое - случайно выбранная хорда. Можно, например, проводить все хорды перпендикулярно одному из диаметров окружности, а точку пересечения хорды с диаметром выбирать случайно, то есть равновероятно. А можно все хорды проводить из одной точки окружности и равновероятным считать угол наклона этой хорды к касательной в этой точке. И ответы будут разные. Можно ещё понапридумывать вариантов.
                                                                              

Простите, я не математик. Просто рассуждения.
Поскольку окружность непрерывная функция, то задачу можно упростить. Одна точка на окружности закреплена неподвижно, а другая точка хорды будет "прыгать" по окружности по теории вероятности.
Очевидно что существует две зоны (красная) где хорда будет меньше длины стороны треугольника и одна зона (зеленая) где она больше. Поэтому вероятность равна 1/3. Но существуют еще две точки (синие) где длины равны. И эти точки выпадают из условия задачи.
Все в этом мире имеет свою точность вычисления. Предположим что на окружности существуют сто теоретических позиций куда может попасть наша точка. Из этих сто точек две выпадают и этим определяют вероятность попадания точки в нужную зону. А если этих позиций миллион? Две точки из миллиона почти не ощутимо. Очевидно, что этот ряд стремиться к 1/3, но это только теория.В том что вероятность в данном случае зависит от точности вычисления я усматриваю то же не корректность условия.

Попробуем порассуждать с точки зрения длины хорды.Её длина лежит в пределах от 0 до D( диаметра круга).Длина стороны правильного треугольника х=r√3=D√3/2.Теперь представим себе числовой отрезок [0,1000],а внутри его ещё один отрезок,например,[70�0,900].Какова будет вероятность того что наугад взятое число из отрезка [0,1000] окажется в отрезке [700,900]( ну,скажем,числа выбирает генератор случайных чисел)? Она равна w=(900-700)/(1000-0)�=0,2.Теперь и с хордой.Вероятность того что хорда будет больше стороны правильного треугольника,то есть её длина будет в промежутке [D√3/2;D] будет равна (D-D√3/2)/(D-0)=1-√3�/2.И я не понимаю причём там параллельность хорды одной из сторон,или может формулировка вопроса не полная,не все нюансы задачи отражает.

Вероятно данная задачка по теории вероятности (каламбурчик при таких условиях некорректна, но если дополнить её условием, чтобы проводимые хорды были параллельны конкретно одной из сторон, то получится, что вероятность попадания хорды будет равно соотношению площадей  большого сегмента, куда входит часть треугольника к полной площади круга!
Ведь что такое вероятность? Это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству опытов, при этом чтобы точно указать вероятность нужно количество опытов неограниченно увеличить..
Так вероятность выпадания например решки при подбрасывании монетки 1/2, что значит, что если мы будем проводить много опытов: миллион, миллиард и т.д., то в половине попыток будет решка..
При этом мы считаем, что стороны монетки полностью симметричны и нет дополнительных условий, чтобы превалировало выпадение одной из сторон монетки..
В нашем случае мы можем завязать глаза и используя например инерционную линейку проводим линии наугад (при этом они будет всегда параллельны одной сторон треугольника (при этом сделаем ограничитель, чтобы линии всегда пересекали окружность)..
Вероятность, что хорда будет длиннее равна отношению площадей синей ко всей площади круга..Красная линия - это сторона, параллельно которой должная быть проведена хорда..
Но если не поставить условия параллельности, то хорда может иметь множество положений относительно стороны треугольника и может находится в различных частях круга, при этом нельзя указать локализацию хорды..
Грубо говоря не будет чётко очерченных областей нахождения и отсутствия хорды..
Вероятность попадания в какую-либо часть фигуры будет равна отношению этой части ко всей площади этой фигуры..
Например если соотношение части фигуры к общей площади 1:3, то количество попадания линии в эту часть будет тоже 1:3, т.е. если сделаем миллион опытов, то количество попаданий в данную область будет примерно 300 тыс..
При миллиарде попыток количество попаданий будет ещё ближе к теоретическому соотношению 1 к 3..
Например метод Монте-Карло - это нахождение площадей фигур с помощью вероятностей, а здесь наоборот - нахождение вероятностей с помощью площадей фигур..

Михаил Белодедов уже дал правильный ответ. Это классический пример некорректной задачи по теории вероятностей, которую решал еще Пьер Ферма. Эта задача имеет три разных решения при КОРРЕКТНОЙ (но различной) ее формулировке. То есть от того, как задавать случайную хорду. Так, если задать хорду случайной парой точек на окружности, то решением задачи будет такое: вероятность равна одной трети. Если задать хорду случайной точкой на радиусе этой окружности в предположении, что эта точка является серединой хорды, то ответ изменится: в этом случае вероятность увеличится до 50%. Возможна еще одна формулировка этой задачи, при которой вероятность увеличивается до 75%.

Итак, ещё раз посмотрим в чём здесь парадокс..
Дело в том, что вероятность проведения хорды, меньшей стороны треугольника, будет равна отношению площади кольца к площади всей окружности.Площадь кольца пr^2/4-пr^2/8=3/4S, где S - площадь окружности..
Тогда вероятность проведения хорды, меньшей стороны треугольника равна 3/4..
Тождество теории вероятности p+p|=1, где первое это вероятность события, а второе - отсутствие события..
Из этого должно следовать, что вероятность проведения хорды, большей стороны треугольника 1-3/4=1/4 или 0,25..
Но с другой стороны вероятность проведения большой хорды - пропорционально площади сегмента, обозначенный синим, при этом сегмент будет поворачиваться на оборот (поскольку хорды могут проведены под любым углом..
И если следовать этому, то вероятность проведения большей хорды - равна 1,  поскольку площадь попадания большей хорды - вся площадь окружности и отношение и даст 1!
Таким образом с одной стороны будет вероятность 1/4, а с другой 1..
Вот и парадокс:))