Как решить задачу (ЕГЭ математика)?
Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник равен 12.

">               Эта тестовая задача решается несколькими способами.
Решение 1
Воспользовавшись справочным раздаточным материалом на ЕГЭ, находим формулы для радиуса описанной и вписанной окружности равностороннего треугольника.
R = a√3/3 (1)  и r = a√3/6 (2)
Подставляем 12 в уравнение 2 и находим сторону a
12 = a√3/6
a = 72 / √3
Теперь подставляем a в уравнение 1 и находим R
R = 72√3 / (3√3) = 24
Ответ: 24
Решение 2
Глядя на рисунок понимаем, что медиана BH (она же высота и биссектриса) состоит из радиуса описанной окружности R = OB и радиуса вписанной окружности r = OH
Точка O будет точкой пересечения медиан ( высот и биссектрис). А как известно точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 считая от вершины
То есть OB : OH = 2 : 1
R = OB = 2•OH = 2•12 = 24
Ответ: 24
Решение 3
(Для продвинутых учеников)
Известно, что радиус описанной окружности равностороннего треугольника в 2 раза больше радиуса вписанной окружности
R = 2r = 2•12 = 24
Ответ: 24   
                                                                              

">               (Задача решается устно в одно действие после взгляда на рисунок, а многим и он не нужен.)
Треугольник равносторонний, значит у него проведённые из одной и той же вершины медиана, биссектриса и высота совпадают. Значит, точка пересечения медиан является и точкой пересечения биссектрис, то есть центром вписанной в равносторонний треугольник окружности.
А из совпадения медианы с высотой следует, что этот отрезок является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне. Значит, точка пересечения медиан является ещё и точкой пересечения серединных перпендикуляров, то есть центром описанной окружности.
Видим на рисунке:
OB — искомый радиус описанной окружностиOH = 12 — радиус вписанной окружностиBH — медианаO — точка пересечения медиан (она же — центр описанной и вписанной окружностей).Медиана точкой пересечения медиан делится на отрезки в отношении
OB / OH = 2 / 1,
откуда
OB = 2 * OH = 2 * 12 = 24.
Ответ: 24.

">               Задача довольно простая, так как то, что треугольник равносторонний, облегчает очень сильно.
Формула для описанной окружности для равностороннего треугольника следующая:
R = a / 3^1/2
для вписанной в равносторонний треугольник окружности формула такая:
r = a / 2 * 3^1/2
Из нее a = 2 * r * 3^1/2
подставляем в первую формулу:
R = 2 * r * 3^1/2 / 3^1/2 = 2 * r = 2 * 12 = 24
Т. е. радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равен удвоенному радиусу окружности, вписанной в него. В данном случае это 24.

">               Другое обьяснение. Чтобы не писать одно и тоже.
Треугольник АВС равносторонний, и понятно, что угол АВН равен 30 градусов. Проведем отрезок ОА и  рассмотрим треугольники АВН и АОН.
ОН-радиус r вписанной окружности
OВ--радиус R описанной окружности
Применим теорему синусов.
Синус 30 градусов равен 1/2
r/(0,5)=AH/sin 60°
r/(0,5)=24
AH=24*sin60°
(R+r)/sin60°=AH/0,5=
=24*sin60°/0,5=48*sin60°
R=48*(sin60)^2-12
R=48*3/4 - 12
R=36-12=24
Ответ :радиус описанной окружности равен 24.

">               Самое простое рассмотреть треугольник АОН. Это прямоугольный треугольник и там угол АОН равен 30 градусам и это следует из свойств равностороннего треугольника и вписанной окружности, а можно и доказать.
Ну а дальше в прямоугольном треугольнике АОН гипотенуза это радиус описанной окружности, а катет против угла в 30 градусов (ОН)  это радиус вписанной окружности и он равен половине гипотенузы.
Так что отсюда следует, что радиус описанной окружности равен 24.