На медиане AD треугольника АВС отметили точку Е. Точка F – середина отрезка ВЕ, G – точка пересечения отрезков AD и CF. Отношение площади треугольника EFG к площади треугольника АВС равно 1:8.
А) Докажите, что AE:ED=1:3.
Б) Найдите площадь четырехугольника BDGF, если BC=3√29, AB=7, АС=10.

AD - медиана треугольника ΔАВС, значит: BD = DC = BC/2
следовательно S(ΔАВD) = S(ΔADC) = 1/2*S(ΔАВС)
(т.к у всех указанных треугольников, высота опущенная из точки А - общая)
по условию задачи S(ΔEFG) = 1/8*S(ΔАВС), значит:
S(ΔEFG) = 1/4*S(ΔАВD) - при этом у данных треугольников высоты, опущенные из точек B и F на прямую АD относятся как 2:1, следовательно:
EG = АD/2
в треугольнике ΔВЕС: точка F - середина стороны ВЕ, точка D - середина стороны ВC,
следовательно FD - параллельна ЕС, а также FD = ЕС/2
треугольники ΔFGD и ΔEGC - подобные (т.к у них все углы - попарно равны), значит:
EG/GD = EC/FD = 2 , следовательно:
ED = EG + GD = 3/2*EG
вспоминаем, что EG = АD/2, получаем:
ED = 3/4*АD
при этом АЕ = АD - ED = АD/4
Ответ:
AE/ED = (АD/4) / (3/4*АD) = 1/3
найдем площадь треугольника ΔАВС - казалось бы: в треугольнике известны длины всех сторон - бери  формулу Герона и вычисляй площадь... но я формулу Герона не люблю ...
лучше воспользуемся Теоремой косинусов:
BC² = АВ² + АC² - 2*АВ*АС*cos(∠BAC)
cos(∠BAC) = (АВ² + АC² - BC²)/(2*АВ*АС) = -0.8, следовательно:
sin(∠BAC) = 0.6
S(ΔАВС) = 1/2*AB*AC*sin(∠BAC) = 1/2*7*10*0.6 = 21
площадь треугольника ΔEBD равна:
S(ΔEBD) = 3/4*S(ΔABD) (т.к ED = 3/4*АD - было доказано в ответе на вопрос А), значит:
S(ΔEBD) = 3/8*S(ΔАВС)
вспоминаем, что по условию задачи S(ΔEFG) = 1/8*S(ΔАВС), получаем:
Ответ:
площадь четырехугольника BDGF = S(ΔEBD) - S(ΔEFG) = 2/8*S(ΔАВС) = 2/8*21 = 5,25