Нужны разъяснения по поводу. При каком значении k прямые kx+9x+3y+21=0 и −3kx+2x+2y−8=0 параллельны.

Прямые параллельны, если их наклонные коэффициенты равны.

Для первой прямой уравнение в общем виде: kx + 9x + 3y + 21 = 0
Тогда наклонный коэффициент прямой будет равен -k/3.

Для второй прямой уравнение в общем виде: -3kx + 2x + 2y - 8 = 0
Тогда наклонный коэффициент прямой будет равен 3k/2.

Для того, чтобы прямые были параллельными, их наклонные коэффициенты должны быть равны:
-k/3 = 3k/2
-k = 9k
9k + k = 0
10k = 0
k = 0

При k = 0 прямые kx + 9x + 3y + 21 = 0 и -3kx + 2x + 2y - 8 = 0 будут параллельными.
-------
Прямые параллельны, если и только если их направляющие коэффициенты пропорциональны.

Уравнения прямых:

1) kx + 9x + 3y + 21 = 0
2) -3kx + 2x + 2y - 8 = 0

Для выражения направляющих коэффициентов запишем уравнения прямых в виде y = mx + b, где m - направляющий коэффициент.

1) kx + 9x + 3y + 21 = 0
3y = -kx - 9x - 21
y = -(k/3)x - 3x - 7

2) -3kx + 2x + 2y - 8 = 0
2y = 3kx - 2x + 8
y = (3k/2)x - x + 4

Сравниваем коэффициенты при х:

Для первой прямой: m1 = -(k/3)
Для второй прямой: m2 = 3k/2

Проконтролируем пропорциональность коэффициентов:

m1 = k/3
m2 = 3k/2

Для прямых быть параллельными, их направляющие коэффициенты должны быть пропорциональны. То есть m1 = m2:

k/3 = 3k/2

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:

2k = 9k

Уравнение не имеет решения, так как k не может быть равно 0 и одновременно быть равно 0. Значит, прямые не могут быть параллельными ни при каком значении k.