При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на специальный тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 93 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 97 % случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 12 % пациентов некоторой поликлиники, направленных на тестирование. При обследовании пациента А. врач направил его на соответствующий тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент А. действительно имеет это заболевание?

Такие задачи называются заданиями на сложную вероятность, так как требуют применения формул теории вероятности.
В данной задаче нужно использовать несколько формул. Во-первых, формулу умножения вероятности.
Пусть событие A означает, что пациент болен, а событие B, когда тест выявляет наличие заболевания. Значит P(A) вероятность того, что пациент болен, тогда по теорме об умножении вероятностей вероятность того, что пациент болен и тест подтвердил это Р(АВ) = 0,93*Р(А). Вероятность противоположного события (пациент не болен) равна 1-Р(А). А вероятность того, что при отсутствии заболевания тест окажется положительным будет равен произведению вероятностей: (1-Р(А))*(1-0,97). Суммарная вероятность положительного теста известна - 0,12.
Значит Р(А)*0,93+(1-Р(А))*0,03=0,12 или Р(А)*0,9 = 0,09, отсюда Р(А)=0,10.
Ответ: 0,1 или 10%.

Если взять 100 человек заведомо заболевших, то у семи человек тест ничего не выявит.
Если взять 100 заведомо здоровых, то у трёх человек тест ошибочно покажет заболевание.
Берём вместе этих 200 человек (100 заведомо здоровых и 100 заведомо больных).
Тест выявит из них 96 больных человек (как настоящих, так и фиктивных), что составляет:
96 / 200 = 0.48, или 48%,
и это при условии что здоровых и больных в клинику пришло поровну. Реальный же процент составляет 12, то есть в четыре раза меньше, что говорит о том, что клинику посещает на предмет тестирования этой болезни здоровых людей более чем в девять раз больше (где-то приблизительно в 9.6 раза), чем больных людей. Откуда можно прикинуть, что данный посетитель, несмотря на его диагноз, всё же здоров с вероятностью:
960 / 1060 ≈ 0.91, или 91%   

Пусть х - вероятность того, что человек болен, тогда (1-х) - здоров.
Положительный тест можно получить, если человек действительно болен (93% = 0,93), или если он здоров, но тест ошибся (3% = 0,03). Известно, что положительный тест получается у 12% пациентов в поликлинике.
Составим следующее уравнение:
0,93х + 0,03*(1-х) = 0,12
Остаётся решить его:
0,93х + 0,03 - 0,03х = 0,12
0,9х = 0,09
х = 0,1
Таким образом, мы нашли вероятность того, что человек болен.
Далее посчитаем вероятность того, что пациент А болен и получил положительный тест, она равна:
(0,93 * 0,1)/0,12 = 0,775. Деление необходимо, так как пациент А - один из пациентов данной в задаче поликлиники
Ответ: вероятность того, что пациент А. действительно имеет это заболевание равна 0,775.

Пусть пришло 1000 посетителей. У 120 из них тест показал заболевание. (12 %).
Пусть реально болеющих -х
Тогда неболеющих-(1000-х).
Тогда :
0,03*(1000-х)+0,93х=120
30-0,03х+0,93х=120
0,9х=90
х=100
То есть на 1000 посетителей у нас 100 болеющих.
Вероятность того, что пациент А имеет заболевание равна 100/1000=0,1
P S-вот какие отклонения от реальности дают нам приближения в 93 и 97 процентов.