Некоторое число как при делении на 1976, так и при делении на 1977 даёт в остатке 76. Какой остаток даст это число при делении на 39?

Умножим 1976 на 1977. Получается 3906552. Прибавим к результату 76. Получим 3906628. Теперь это число при делении и на 1976, и на 1977 дает в остатке 76. Теперь, чтобы ответить на вопрос задачи, разделим полученное число на 39. Целая часть при делении будет равна 100169, а остаток будет равен 37. Ответ: 37.
                                                                              

Если число делится на 1976 и дает в остатке 76, то его можно представить в виде к*1976+76, где к целое число. Попробуем разделить это число на 39.
(к*1976+76)/39 = 50*к*39 + 26 + 39 +37 = 39*(50*к+1) + 73 = 39*(50*к+1)+39+24= 39*(50*к+2)+24. То есть остаток от деления равен 24.
То же самое можно проделать и с числом которое делится на 1977 с остатком 76. Это число запишем в виде а*1977+76. Найдем остаток от деления этого числа на 39.
(а*1977+76)/39 = 50*а*39 + 27 + 39 +37 = 39*(50*а+1) + 74 = 39*(50*а+1)+39+25= 39*(50*а+2)+25.
Ответ: остаток отделения этого числа на 39 может быть равным или 24 или 25.
Если такое число существует. Ведь если это так, то к*1976+76 = а*1977+76.
Значит к*1976 = а*1977. То есть это число равно произведению 1976*1977 = 3906552.
В этом случае остаток равно нулю, так как число 3906552 делится нацело на 39. 3906552/39=100168.

Также есть еще одно решение. Возьмем за некоторое число из условия задачи 76. Тогда, при делении этого числа на 1976, целая часть будет равна 0, а остаток будет равен 76. Также при делении 76 на 1977 целая часть будет равна 0, а остаток будет равен 76. Далее 76 делим на 39. Целая часть равна 1, а остаток также равен 37.

37.
N = 1976p + 76  = 1977q + 76.
Откуда
p = 1977n = 3·659n; q = 1976n = 13·152n.
Стало быть,
N = 39·152·659n + 76 = 39A + 37.

Число которое имеет одинаковый остаток,равный 76, при делении на 1976 и 1977 можно представить в виде х=1976а+76 и х=1977в+76.Тогда 1976а=1977в.Отсюда вытекают следующие значения а и в.
1)а=в=0,тогда х=76
2)а=1977, в=1976, тогда х=3906552+76=3906628�,тогда следует
3)-общий случай а=п*1977,в=п*1976 ,где п-любое натуральное число или 0 и х=3906552*п+76.
Во всех случаях остаток -76.
Если поделить х=3906552п+76 на 39,то получим:
х/39=(3906552п/39)+(�76/39)=100168п+1+37(о�ст).
Так как (100168п+1)-целое число,то всегда будет в остатке 37.