Два равных прямоугольника имеют общую вершину (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

Площадь треугольника - это не только полупроизведение стороны на высоту, но ещё и полупроизведение двух сторон на синус угла между ними. То есть, в применении к рисунку,
S(AOK) = 0,5*AO*OR*sin(AOK)
S(COM) = 0,5*CO*OM*sin(COM).
А теперь внимательно посмотрим на эти углы. Ясен пень, что сумма всех четырёх углов, сходящихся в точке О, составляет 2пи. Вместе с тем два угла из четырёх - прямые. Это означает, что АОК+СОМ=пи, и поэтому АОК = пи-СОМ. Откуда разом следует равенство синусов этих углов и, значит, равенство площадей треугольников.