Нарисован прямоугольник ABCD. AF = 3 см, FB = AE = ED = 2 см. Найдите площадь закрашеной фигуры.

Сначала найду площадь треугольника FAO. Она равна произведению основания на высоту и делённое пополам:
2*3/2. Двойку сокращаю получается 3 см^2. Запомню.
Теперь найду длину гипотенузы треугольника DEC. Она равна корню из суммы квадратов катетов CD и DE. Нахожу:
CD = 2 + 3 = 5 см, а DE = 2 см. по условию.
(2^2 + 3^2)^(1/2) = 3,60555127546 ~ 3,6 см.
Теперь я найду чему равна гипотенуза ОС:
(2^2 + 2^2)^(1/2) = 2,82842712475
Похоже это ненужные вычисления. Решение внезапно созрело у меня в голове.
Прямоугольник DEXC разделён диагональю ЕС на 2равных треугольника. Сначала я найду площадь не закрашенного треугольника DEC. Она равна ровно половине прямоугольника DEXC. Вычисляю:
2*(3 + 2)/2. сокращаю на 2 получится ровно 5 см^2. Значит треугольник ХСЕ равен тоже 5 см^2. Но у него половина квадрата 2*2 не закрашена. Вычислю сколько нужно отнять от закрашенной части:
2*2/2 = 2 см^2. А теперь отниму и узнаю площадь только закрашенной части ЕОС:
5 - 2 = 3 см^2. и ещё прибавлю треугольник АЕО:
3 + 3 = 6 см^2.
Мой ответ: 6 см^2 площадь закрашенной фигуры. На рисунке это пункт В).
                                                                              

Для начала добавим точки G и H на чертёж, чтобы потом было проще объяснить процесс решения:
Теперь площадь закрашенной фигуры AGCE можно найти, как разность площади целого прямоугольника ABCD и площадей трёх фигур, которые остались не закрашенными, а именно прямоугольной трапеции ABHG, прямоугольного треугольника CGH и прямоугольного треугольника CDE ( впрочем, возможны и другие варианты трапеций и треугольников ).
Площадь прямоугольника ABCD равна произведению длин его сторон:
S(ABCD) = AB * AD = ( AF + BF ) * ( AE + DE ) =
= ( 3 + 2 ) * ( 2 + 2 ) = 5 * 4 = 20 см²
Площадь прямоугольной трапеции ABHG равна половине произведения суммы длин её оснований и её же высоты:
S(ABHG) = ( AB + GH ) * BH / 2 =
= ( AF + FB + FB ) * AE / 2 =
= ( 3 + 2 + 2 ) * 2 / 2 = 7 см²
Площадь прямоугольного треугольника CGH равна половине произведения его катетов CH и GH:
S(CGH) = CH * GH / 2 =
= ED * FB / 2 = 2 * 2 / 2 = 2 см²
Площадь прямоугольного треугольника CDE равна половине произведения его катетов ED и CD:
S(CDE) = ED * DC / 2 =
= ED * ( AF + FB ) / 2 =
= 2 * ( 3 + 2 ) / 2 = 5 см²
Ну, и наконец можно найти площадь закрашенной фигуры AGCE:
S(AGCE) = S(ABCD) - S(ABHG) -S(CGH) - S(CDE) =
= 20 - 7 - 2 - 5 = 6 см²
Ответ: площадь закрашенной фигуры равна В) 6 см²

Пусть вертикаль, проходящая через F, пересекается с горизонталью, проходящей через E, в точке O (почти в центре чертежа), и со стороной DC -- в точке H (внизу чертежа). Пусть, также, последняя упомянутая горизонталь (проведённая через E) пересекается со стороной BC в точке G (справа).
Чёрная область разбивается на треугольники AEO и EOC. Причём, последний треугольник EOC можно получить теор-множественной разностью треугольника EGC и белого треугольника OGC.
Если обозначить через S(.) площадь фигуры-аргумента, то
S(EAOC) = S(AEO) + S(EOC) =
= S(AEO) + S(EGC) - S(OGC). (*)
По чертежу видно, что каждый из этих треугольников занимает ровно половину площади прямоугольника, на вершины которого этот треугольник натянут, т.е.,
S(AEO) = S(AFOE)/2 = AF*AE/2 = 3*2/2 =3,
S(EGC) = S(EGCD)/2 = (AF+FB)*ED/2 = (3+2)*2/2 = 5,
S(OGC) = S(OGCH)/2 = FB*ED/2 = 2*2/2 = 2.
Подстановка этих площадей в (*) даёт S(EAOC) = 3+5-2 = 6 кв.см (ответ B).

Площадь всего прямоугольника:
(3см + 2см) * (2см + 2см) = 20см²
Найдём сумму площадей не закрашенных фигур.
а) Половина левого верхнего прямоугольника:
(3см * 2см) / 2 = 3см²,
б) Правый верхний квадрат:
2см * 2см = 4см²,
в) Левый нижний треугольник:
((3см + 2см) * 2см) / 2 = 5см²,
г) Половина правого нижнего квадрата:
(2см * 2см) / 2 = 2см²,
Итого:
3см² + 4см² + 5см² + 2см² = 14см²,
Остаётся на закрашенную фигуру:
20см² - 14см² = 6см²
Ответ: В) 6см²