Равны ли эти величины: 2^10^10^10 и  2^1000?

Смотря как расставить скобки!
Если так, как это сделал vdtest, то да:
((2^10)^10)^10 = 2^(10*10*10) = 2^1000
А если это многоэтажная степень, то нет:
2^(10^(10^10))
Уже два верхних этажа дают 10^10 = 10000000000.
А теперь мы возводим 10 в эту степень: 10^10000000000 >> 1000.
Этот знак >> означает "во много раз больше".
Ну и, конечно, 2 в этой гигантской степени в невообразимое количество раз больше, чем 2^1000.
                                                                              

Со скобками всё верно, будет результат 2^1000 (1000 = 10х10х10) . Но ведь запись без скобок означает не что иное, как 2 в степени 10, а 10 в степени 10, и то число 10 тоже в степени 10, то есть выполняются все действия по возведению в степени этих показателей в степень, и даже 10 в степени 10 уже огромнейшее число, гораздо больше 1000, и прав в первую очередь Mefody 66, где он пишет о скобках.
Я не спроста задала этот вопрос, в интернете эта задача фигурирует в форме вопроса, то автор вопрос задал, чтобы отвечали читатели его блога. И конечно, решений будет два вида, как у первого автора, и вот самый популярный, но я считаю - не верный ответ 2^1000. Вот ответ с Яндекса Дзен - здесь, правда , в форме теста из нескольких задач.

При возведении степени в степень, при одинаковых основаниях показатели степеней  перемножаются поэтому если число 2 возвести в десятую степень, а потом результат возвести в десятую степень и полученное число опять возвести в десятую степень получим результат, такой же как просто взять и возвести число 2 в степень произведения этих степеней:
получаем тождество:
((2¹⁰)¹⁰)¹⁰=2¹⁰⁰⁰

10*10*10( что равно 1000),это вовсе не :
10^10^10, (что равно :
10^10000000000-огромное число, может даже превосходящее число элементарных частиц во Вселенной)
А тут еще и 2 в этих степенях, а это ещё больше разница.
Так что, надо различать скобки и их отсутствие

Нет они не равны.
См в калькуляторе...
Так как первое число больше второго во много раз.