Задача.
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых заказа. В первой бригаде было 19 рабочих, а во второй — 27 рабочих. Через 9 дней после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Мое неправильное решение:
Пусть 1 бригада сделает заказ за x дней, по 1/x части в день, а в ней 19 рабочих.
Значит, каждый рабочий за 1 день делает 1/(19x) часть работы.
2 бригада сделает заказ за y дней, по 1/y части в день, а в ней 27 рабочих.
Значит, каждый рабочий за 1 день делает 1/(27y) часть работы.
Но рабочие имеют одинаковую квалификацию и работают с одинаковой скоростью, поэтому можно написать:
19x = 27y; отсюда y = 19x/27
За первые 9 дней 1 бригада сделала 9/x часть работы. Осталось сделать 1 - 9/x = (x-9)/x часть работы.
А 2 бригада сделала 9/y = 9*27/(19x) = 243/(19x) часть работы. Осталось сделать 1 - 243/(19x) = (19x-243)/(19x) часть работы.
Потом 7 рабочих перешли из 2 бригады в 1 бригаду. Стало 26 рабочих в 1 бригаде и 20 рабочих во 2 бригаде.
Теперь 1 бригада за 1 день делает 26/(19x) часть работы. А 2 бригада за 1 день делает 20/(19x) часть работы.
И они закончили оба заказа одновременно.
((x-9)/x) : (26/(19x)) = ((19x-243)/(19x)) : (20/(19x))
((x-9)/x) * (19x/26) = ((19x-243)/(19x)) * (19x/20)
19(x-9)/26 = (19x-243)/20
19*20(x-9) = 26(19x-243)
380x - 3420 = 494x - 6318
6318 - 3420 = 494x - 380x
114x = 2898
x ≈ 25,42
Однако, правильный ответ: x = 21.
Внимание, вопрос: Найдите ошибку в решении?

Ваши размышления интересны, но слишком сложны. Писать 19x = 27y неверно, как и написал (а) Nasos.
Решение можно упростить в разы, убрав ненужные параметры. Смотрите, работники работают с одинаковой силой и срок идентичен, потому это показатели, которыми можно пренебречь.
Первая бригада работает: 19 человек 9 дней и некое количество дней уже в числе 19+7. Тогда получим 19*9 + 26*у = построенное здание. Где у - число дней после перегруппировки команды.
Вторая бригада работает: 27 человек 9 дней и некое количество дней уже в числе 27-7. Тогда получим 27*9 + 20*у = построенное здание. Где у - число дней после перегруппировки команды.
Но наши здания одинаковы и сроки одинаково, потому приравняем обе записи.
19*9 + 26у = 27*9 + 20у
171 + 26у = 243 + 20у
26у - 20 у = 243 - 171
6у = 72
у = 12.
А теперь переходим к х, о котором вы спрашивали. 9 дней команда работала до перегруппировки, 12 дней после перегруппировки. х = 9 + 12 = 21.
                                                                              

В  первой  половине  две  бригады  выработали  19 * 9 = 171  трудодень  (первая)  и  27 * 9 = 243 трудодня  (вторая).  После  перехода  7  рабочих  их  второй  бригады  в  первую  во  второй  осталось  20  рабочих,  а  впервой  стало  26  рабочих.  Трудились  обе  бригады  еще  Х дней,  выполнив  в  результате  одинаковое  количество  трудодней.
Получаем  равенство:
19 * 9 + 26 * Х = 27 * 9 + 20 * Х
преобразуем,  получим  26Х  - 20Х  = 243 - 171  или  6Х  =  72  откуда  Х = 12 дней
с  учетом  9  дней  работы  до  смены  состава,  на  весь  заказ  бригады  потратили  12 + 9 = 21  день  работы.
А  в решении  автора  ошибки,  скорее  всего  и  нет  (если  брать  в  расчет  только  математику).  Однако  в  решении  идет  поиск  не  того  ответа.  Вычисляя  Х,  автор  задачи  отчего-то  совершенно  забывает  про  Y,  который  тоже  обозначает  длительность  выполнения  работы,  только  второй  бригадой.  Да  и  Х  -  это  не  то  значение,  которое  нам  нужно,  потому  что  изначально  это  количество  дней,  за  которое  выполнит  работу  первая  бригада  в  НЕИЗМЕННОМ  составе;  как  и Y   -  время  работы  второй  бригады  так  же  в  неизменном  составе.  Изначально  ясно,  что  эти  значения  не  совпадают  и  вовсе  не  равны  значению,  требующемуся  в  задаче.

Ошибка в Вашем решении почти что в самом его начале, а именно, в уравнении:
19x = 27y
В таком начальном составе (19 и 27 человек) обе бригады закончат работу не одновременно, следовательно, части приравнивать нельзя.