В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны 24√2 и 7√2.

Нарисуем рисунок и обозначим данные в условии: Основания AD =  24√2, BC = 7√2 и Искомый отрезок MN = x
Сделаем дополнительное построение боковых сторон до пересечения в точке K.
Получим ∆AKD. Площадь этого треугольника обозначим S
Площадь маленького ∆BKC обозначим S₁
  1) ∆AKD ~ ∆BKC (по двум углам: угол K общий, углы В и С -  соответственные при параллельных прямых)
Тогда отношение площадей S/S₁ = k², где k - коэффициент подобия: k = AD/BC = 24√2/(7√2) = 24/7
То есть S/S₁ = (24/7)²
2) Площадь ∆MKN состоит из площади трапеции MBCN и ∆BKC. Площадь трапеции MBCN в 2 раза меньше площади трапеции ABCD. S(ABCD) = S - S₁; S(MBCN) = (S - S₁)/2
S(∆MKN) = (S - S₁)/2 + S₁ = S/2 + S₁/2   
3) Аналогично ∆MKN ~ ∆BKC: Тогда отношение площадей S(∆MKN)/S₁ = (х/(7√2))²
Или  (1/2)•(S/S₁) + (1/2)•(S₁/S₁) = х²/(2•7²)
Подставим значение S/S₁
(1/2)•(24/7)² + 1/2 = х²/(2•7²)
х² = 24² + 7²
х² = 576 + 49 = 625
х = 25
Ответ: 25
                                                                              

Ну пусть высота трапеции 1 (нас не интересует абсолютная величина площадей, но лишь их соотношение), а расстояние этой линии от нижнего основания h. Тогда, ясное дело, площадь всей трапеции будет (7+31)/√2, площадь нижней половины - (31√2+L)*h/2, площадь верхней половины - (L+7√2)*(1-h)/2. И по условию, (31√2+L)*h/2 = (L+7√2)*(1-h)/2.
В принципе, тут одно уравнение на два неизвестных, так что надо как-то исхитриться и найти ещё одно уравнение. Ну есть и второе - про сумму площадей: (31√2+L)*h/2 + (L+7√2)*(1-h)/2 = (31√2+7√2)/2 (высота всей трапеции у нас принята равной 1).
Вот если из второго уравнения выразить h как функцию L и подставить что получится в первое, то можно будет найти L.

Пусть длина этого отрезка равна х.
Высота верхней трапеции-а.
Высота нижней трапеции-в.
Воспользуемся идеей Грустного Роджера:
а+в=1,ведь такая трапеция с а и в существует.
Имеем равенства:
(7L2 +x)a/2=
=(7L2+24L2)(a+b)/2=3�1/L2
И другое равенство:
(7L2+x)a=(x+24L2)в
Площадь трапеции=31L2
Площади половинок =31/L2
a=31/(хL2+14) (1)
(24L2+x)(1-a)=31/L2, (2)
далее,подставив вместо (1) во второе, получим :
(24 L2+x)(xL2-17)*L2=
=31(xL2+14)
И окончательно получим:
2х^2=48*17+7*31
х^2=625
А просто х=25(так как х=-25 не имеет смысла)
Ответ:25 равна длина линии, которая делит данную трапецию, на 2 трапеции равной площади