Всего у 4 чисел a, b, c, d должно быть 6 попарных произведений: ab, ac, ad, bc, bd, cd. Нам известно только 5 из них.
Требуется найти шестое произведение, и если получится, найти сами числа.

1) Создаём формулу: ab*ac*ad*bc*bd*cd=2*3*4*5*6*cd
(Далее должен пояснить, что порядок расположения чисел и букв в правой и левой части уравнения может быть любой, и приводит к одному результату: 720*X, где X - одно из произведений левой части выбранное случайно. При дальнейшем преобразовании X в левой части окажется как X^2, а другое произведение - в кубе и в него мы будем подсталять уже известные числа. При этом Х всегда будет равен 2,4).
Преобразовываем и сокращаем cd: a^3*b^3*d^2*c^2=720, ab^3*cd^2=720 - далее подставляем вместо "ab" любое из известных чисел. Задача решается максимум с пяти попыток. Например если ab=2 или 3, 4, 6, то при проверке обнаруживается ошибка. Верное решение, при ab=5. 5^3*cd^2=720, cd=√(720/125), cd=2,4.
Проверяем: a^3*b^3*d^3*c^3=720*2,4, ab^3*cd^3=1728, 5^3*2,4^3=1728, 1728=1728.
2) Находим ac, ad, bc и bd:
ab*cd=a*b*c*d=12, bc=12/ad. Из оставшихся произведений 2, 3, 4, 6 подставляем любые, при которых равенство bc=12/ad будет верно. Например 6=12/2 - значит bc=6, а ad=2.
Аналогично: a*b*c*d=12, ac=12/bd - так как остаются 3 и 4, то равенство будет верно при ac=3, а bd=4.
3) Находим числа a, b, c, d
ab=5, ac=3, ad=2, bc=6, bd=4, cd=2,4.
ab/ac=5/3, b/c=5/3, b/c*bc=5/3*6 b^2=30/3.
b=√10, d=4/√10, a=5/√10, c=6/√10.
                                                                              

Наверняка есть красивое и короткое решение, у меня получилось только переборное. Но зато правильное.
Пусть, без ограничения общности, a <= b <= c <= d.
Тогда ab <= ac <= ad, bc <= bd <= cd.
(Мы не знаем, что больше: ad или bc)
Мы не знаем, какого из шести попарных произведений среди чисел 2, 3, 4, 5, 6 нет. Можем перебрать.
1) Пусть нет произведения ab. Тогда 2=ac; 3,4=ad,bc (какое из них какое -- не знаем), 5=bd, 6=cd. (Пользуемся тем, что знаем, какие произведения больше каких.)
abcd = ac*bd=2*5=10, с другой стороны, abcd=ad*bc=3*4=12, но 10 не равно 12, противоречие. Значит, этот вариант невозможен.
2) Пусть нет произведения ad. Тогда 2=ab, 3=ac, 4=bc, 5=bd, 6=cd. abcd=ab*cd=2*6=12, с другой стороны, abcd=ac*bd=3*5=15, 12 не равно 15, этот тоже невозможен.
3) Пусть нет произведения bc. Тогда 2=ab, 3=ac, 4=ad, 5=bd, 6=cd. Невозможжно в точности по тем же причинам, по которым в случае 2.
4) Пусть нет произведения bd. Тогда 2=ab; 3=ac; 4,5=ad,bc; 6=cd. abcd=ab*cd=2*6=12, с другой стороны, abcd=ad*bc=4*5=20, 12 не равно 20, этот тоже невозможен.
5) Пусть нет произведения cd. Тогда 2=ab; 3=ac; 4,5=ad,bc; 6=bd. abcd=ac*bd=3*6=18, с другой стороны, abcd=ad*bc=4*5=20, но 18 не равно 20, этот тоже невозможен.
Остаётся последний вариант: нет произведения ac. В этом случае 2=ab; 3,4=ad,bc;5=bd;6=cd. Найдём ac. ac=ad*bc/bd=3*4/5=12/5. Недостающее произведение мы нашли.
А вот для чисел a, b, c, d есть четыре возможных варианта. Во-первых, все числа могут быть или положительными, или отрицательными. Во-вторых,при 3=ad, 4=bc и при 3=bc, 4=ad получаются существенно разные наборы чисел (отличающиеся не только знаками). Находятся очень просто: находим a/c=ab/bc, умножаем a/c на ac, отсюда находим квадрат а, то есть и а (помним, что оно может быть положительным и отрицательным), остальные числа находим, деля соответствующие произведения на а. Расписывать в числах не буду.
Возможные значения a, b, c, d -- это {sqrt(6/5), sqrt(10/3), 2*sqrt(6/5), sqrt(15/2)}, {2*sqrt(2/5), sqrt(5/2), 3*sqrt(2/5), sqrt(10)}, а так же те же самые наборы, только с противоположными знаками (все числа отрицательны, модули те же). Здесь sqrt(...) -- это квадратный корень. Можно найти попарные произведения и убедиться, что пять из них -- 2, 3, 4, 5, 6 -- то есть проверить, что решение правильное.
Ответ: недостающее произведение -- 12/5, сами числа нельзя найти однозначно, для них есть четыре варианта, они описаны выше.

В задаче четыре неизвестных числа a, b, c, d, следовательно, достаточно знать четыре парных произведения. Имеем систему из четырех уравнений:
ab = m₁ (1),
ac = m₂ (2),
ad = m₃, (3)
bc = m₄ (4).
Откуда
b = m₁/a (5),
c = m₂/a (6),
d = m₃/a (7).
Тогда в (4) подставляем значения (5) и (6)
(m₁/a)* (m₂/a) = m₄.
В результате имеем
a =√( m₁*m₂/m₄)
решение задачи в общем виде.
Пусть m₁ = 4, m₂ = 5, m₃ = 6, m₄ = 2.
Определяем числа
a = √( 4*5/2) =√10,
b = 4/√10,
c = 5/√10,
d = 6/√10.
Вычисляем парные произведения
ab = √10*4/√10 = 4,
ac = √10*5/√10 = 5,
ad = √10*6/√10 = 6,
bc = (4/√10)*(5/√10) = 2
cd = (5/√10)*(6/√10) = 3,
требуемое шестое произведение
bd = (4/√10)*(6/√10) = 2,4