Обруч, висящий на гвозде в точке А отклонили на некоторый угол ( см. рисунок). Куда следует вбить другой гвоздь, чтобы отклоненный обруч не изменил своего положения ? Сколько вы можете указать таких точек?

Таких точек действительно бесконечно много.
Самый простой и напрашивающийся ответ - это точка на той же горизонтали. То есть из точки А проводится горизонтальная прямая - и там вбивается гвоздь. Доказательство этого довольно элементарно и основывается на симметрии обруча относительно вертикального диаметра.
Но это не всё. Гвоздь можно вбить около любой точки обруча ниже точки А (и вплоть до точки, диаметрально ей противоположной - A') - но снаружи от обруча. Это тоже будет устойчивое равновесие - вбитый снаружи гвоздь не даст обручу повернуться.
Но и это тоже не всё! Ну натурально, раз задача второго гвоздя - не дать обручу повернуться, то этого можно добиться, вбив гвоздь внутри обруча где-нибудь левее верхней точки обруча (точка В):
Идея тут та же самая: если принять точку А за центр вращения (выход из положения равновесия при наличии точки опоры можно трактовать как поворот относительно этой точки), то вторая точка опоры должны этому повороту препятствовать. Это и достигается двумя вот такими методами.
Если же второй гвоздь вбить на участке АВ (по короткой дуге), то это без толку, потому что новый гвоздь станет единственной новой точкой опоры - обруч просто повернётся так, что эта точка окажется верхней, на вертикальном диаметре.
                                                                              

Стопицот точек (бесконечное количество) на дуге, от диаметрально противоположной вбитому гвоздю точки, по часовой стрелке, до самой верхней точки обруча.

Обруч под действием силы тяжести (векторы ВС и АС2) попытается занять положение, отмеченное, как окружность пунктирной линией с центром в точке С2. Чтобы препятствовать этому, нужно забить второй гвоздь в любом месте дуги ABDC. Это теория, а вот на практике я бы ограничился для красоты и надёжности дугой BD.