Существуют ли натуральные числа, результат умножения которых на пятизначное число, состоящее из одних  девяток, представляет собой число, состоящее из одних единиц? Приведите пример наименьшего из таких чисел, либо обоснуйте невозможность их существования.

Ответ знаю.
Это число 11111222223333344444�55555666667777788889.
Доказательство этого факта довольно заковыристо и обширно.
Но основная идея его заключается в том, что 99999 = 100000-1, а значит, в результате умножения мы получаем разность двух чисел, цифры в которых совпадают, но сдвинуты на пять разрядов. То есть, из двоек вычитаются единицы, из троек - двойки, из четверок тройки и так далее.
Ну, для простоты рассмотрим ту же задачу, когда девяток не пять, а две, к примеру:
1122334455667789*99 = 111111111111111111.
Если бы девяток было три, то имели бы
11122233344455566677�7889 * 999 = 11111111111111111111�1111111
Ну, и так далее - по аналогии.
                                                                              

Натуральное число, которое при умножении на 99999 даёт число, состоящее из одних только единиц действительно существует. Это число
Дело в том, что число "99999" - это разность "100000-1". Следовательно, после умножения искомого числа на 99999 мы получим разность двух чисел, в которой цифры будут совпадать, но окажутся сдвинуты на 5 разрядов.
Из этого следует, что из двоек будут вычитаться единицы, а из троек будут вычитаться двойки и так далее.
В результате у нас получится число, состоящее из одних единичек.

Задачка легко решается в excel, самый простой способ решения: взять число 111111 и разделить на 99999, далее увеличиваем количество единиц на одну столько раз, пока не получим результат деления -  натуральное число. Минимальное такое натуральное число 111112222233333. Если это число умножить на 99999, то получиться число из 21 единицы.