Ирине как-то Бог послал ожерелье из тысячи бусин. Взяв краску, она задумала окрасить некоторые из них - первую, шестнадцатую, тридцать первую, сорок шестую и так далее. Ожерелье было закольцовано и Ира окрашивала каждую пятнадцатую бусину, если она ещё не была окрашена.
Задача: сколько золотых бусин появилось на ожерелье и какое количество сохранило свой цвет?

Всего в кольце 1000 бусин. Раскрашивая каждую 15-ю, посчитаем сколько бусин будет перекрашено за 1 проход кольца и на какой бусинке остановится Ира.
Для этого разделим 1000 на 15 с остатком
1000:15 = 66 остаток 10; Вот тут мешает (немного усложняет) 1-я бусинка; Давайте, поскольку бусы закольцованы сделаем сдвиг нумерации на 1 бусину вперед и запомним, что 1000-я бусина у нас покрашена.
То есть бусины будет Ира красить 15; 30; 45... и т.д.
То есть будет покрашено 1 (тысячная) + 66 = 67 бусин и остановится Ира на (1000 - 10) = 990-й бусинке.
Таким образом 2-й круг пойдет Ира красить со сдвигом на -10. То есть 5-я; 20; 35 и т.д.
И снова покрасит 1(пятая) + 66 = 67  бусин и остановится со сдвигом на -10, то есть на (1005 - 10) = 995-й бусине.
Теперь на 3-й круг пойдет красить Ира: Начнет с 10-й. И опять покрасит 1 (десятая) + 66 = 67 и остановится на 1000-й, но 1000-я уже покрашена. Значит на 3-м кругу покрасит 66 бусин.
Придя в начальную точку, дальше будет проход по тем же уже покрашенным бусинам.
Таким образом будет покрашено: 67 + 67 + 66 = 200 бусин И 1000 - 200 = 800 сохранило свой цвет.
Ответ: 200 бусин перекрашены; 800 сохранили цвет.
Можно проще было решать. Поскольку 1000 не кратна 15, то попадания на покрашенную бусину не будет, пока не станет n•1000 кратно 15
Поскольку 15 = 5•3 и 1000 кратно 5 и не кратно 3, то n = 3
Таким образом должен будет пройден путь в 3000 бусин, чтоб попасть снова на покрашенную.
3000:15 = 200, то есть каждая 15 покрашена  и их будет 200 штук. Ну и некрашеных будет 800
                                                                              

1) Так как бусинки считаются не с нуля, а с первой, то поделю не 1000 на 15, а 900 на 15: 900/15 = 66 и самая первая тоже считается, то окрашенных бусинок будет: 66 + 1 = 67, запомню, а последней окрашенной стала 901-я, а не 900-я.
2) 901 + 15 = 1006. Теперь 1-й стала 6-я от начала. Снова Ира их красит. И последняя стаёт 906-я. Ещё 67 бусинок окрашено, запомню.
3) 906 + 15 = 1011. Теперь 1-й стала 11-я от начала. Снова Ира их красит. и последняя стаёт 1001-я. Круг замкнулся её нельзя красить, она фактически первая. значит на 1 меньше. В итоге 66.
Всего было окрашено:
67 + 67 + 66 = 200.
Проверка:
Ищу ближайшую 1000 которая делится на 15 без остатка. Это как раз 3-я тысяча:
3000/15 = 200. Сходится. Проверка завершилась успешно!
Теперь вычислю сколько осталось неокрашенных:
1000 - 200 = 800.
Мой ответ: 200 золотых бусин появилось на ожерелье, а 800 сохранило свой цвет.