Сумма ста натуральных чисел равна 5000. Все эти числа разбили на три группы, причём во всех группах разное количество чисел. Известно, что:
— в первой группе 29 чисел, их среднее арифметическое равно 21;
— среднее арифметическое чисел второй группы равно 50;
— среднее арифметическое чисел третьей группы – целое число.
Найдите количество чисел в третьей группе.

Пусть во второй  группе х чисел,в третьей группе у чисел и среднее арифметическое в третьей группе-п.
Имеем: 21*29+50х+пу=5000
29+х+у=100,далее:
50х+пу=4391
х+у=71, выразим :х=71-у
50(71-у)+пу=4391,далее
у(п-50)=841,причем п и у целые числа и 841 разлагается на простые множители следующим образом:
841=29*29(этот вариант не подходит так как получается одинаковое количество чисел в первой и третьей группах) ,подходит вариант 1*841,тогда
у=1 и х=71-1=70 и:
п-50=841,отсюда п=891
Ответ : в третьей группе 1 число со средним арифметическим 891 ,во второй группе 70 чисел.
Проверка: 29+70+1=100
29*21+70*50+1*891=50�00

Так как чисел у нас 100, их сумма равна 5000, то 5000:100 = 50 - среднее арифметическое всех наших чисел.
во 2-й группе среднее арифметическое чисел равно 50, значит, 50 должно быть равно среднеарифметической 1-й и 3-й групп.
в 1-й группе 29 чисел, а в 3-й пусть будет n чисел, а их среднеарифметическое m.
(21*29+nm): (n+29) =50
(21*29+nm)= 50*(n+29)
21*29 +nm=50n+50*29
nm=50n+50*29-21*29
nm=50n+29*(50-21)
nm=50n+29*29
nm-50n=29*29
n(m-50)=29*29
Число n должно делиться на 29*29.
Имеем 3 варианта: 1,29,29*29.
вариант 29*29 исключаем, так как >100.
29 не подходит, так как по условию в группах разное количество чисел (а во 2-й их 29). Значит, остается 1.
Ответ: 1.