Самое главное - с помощью ТОЛЬКО циркуля, БЕЗ линейки.
То есть имеется отрезок AC, нужно построить точку B, которая при соединении с точкой С даст прямой угол ACB.
Точка B должна быть построена как пересечение двух дуг на любом расстоянии от С.
В общем, должно получиться нечто, похожее на рисунок.
Только не надо отправлять меня в поисковики!
Поиск в Интернете дал только построения с циркулем И линейкой, а еще с веревками, спичками, бумажками и прочую ересь.

В общем-то, такое построение перпендикуляра к прямой можно сделать без проблем.
Вот только сам отрезок - перпендикуляр, придется все же чертить по линейке.
На прямой  MN отметим точку A - место будущего перпендикуляра.
Берем в руки циркуль и от этой токи откладываем по обе стороны два равных произвольных отрезка.
Отметим точки В и С.
Немного увеличим раствор циркуля и отметим на прямой дополнительные точки В1 и С1.
Проведем две дуги окружностей из точек  В и С. Раствор циркуля при этом будет равным отрезку АС1
Две дуги пересекутся, как это видно на чертеже.
Обозначим точки пересечения дуг точками D и E.
Затем немного увеличим раствор циркуля и снова проведем две дуги из тех же центров В и С, отметим точки пересечения D1 и E1
Точки   D и E, а также D1 и E1 будут принадлежать одному отрезку, который и будет перпендикулярен прямо MN.
Можете провести от руки, а может все-таки воспользуелесь линейкой?
                                                                              

Это элементарно. На СА отлаживаем циркулем пять равных отрезков. Затем строим египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Прочитал  рассуждения некоторых авторов,по поводу построения с помощью одного только циркуля, без всяких линий. Строго говоря, ни в одном из решений это условие не выполняется, так как авторы решений считают,что отрезок АС проведён с помощью линейки, а не задан только двумя конечными точками А и С. И вот во всех решениях так или иначе используется этот отрезок, а стало быть и линейка.
Давайте,следуя пожеланию автора вопроса выполним построение одним только циркулем.
То есть имеется не сам отрезок АС а только  точки А и С, и нужно построить точку B, при соединении точек В и С и А и С должен получаться прямой угол ACB
Решение. Что мы можем выжать из циркуля и двух заданных точек ? Самое простое-это  сделать засечки циркулем радиусом равным АС. На этом и основано построение. Известно,что для построения равностороннего треугольника достаточно из его вершин  А и С провести две окружности радиусом равным АС. Таким образом получаем точку 1.
Теперь строим второй равносторонний треугольник на отрезке с конечными точками С и 1 в итоге получаем точку 2.
Теперь строим третий равносторонний треугольник на отрезке с конечными точками 2 и 1 в итоге получаем искомую точку В.
Вот собственно и всё решение-шесть засечек циркулем одним и тем же радиусом. Точки С и А заданы, а точки 1,2,В( на них поставлены засечки) получены в ходе построения.
Другие решения тоже возможны-например, строится окружность радиусом СА с центром в точке С и в этой окружности строится вписанный шестиугольник, с начальной вершиной в точке А, а затем его верхняя сторона разбивается пополам.Точка разбиения и есть искомая точка В
 Или похожее решение но без бисекции верхней стороны шестиугольника-из её крайних точек опять проводим две засечки радиусом СА и получаем искомую точку В. Решение с построением правильного шестиугольника просматривается на том же самом эскизе, только окружность с радиусом СА и центром в точке С не проведена  Первая сторона шестиугольника задана точками А и 1 , верхняя сторона шестиугольника задана точками 1 и 2. Остальные стороны шестиугольника просто не нужны...

Я считаю, что ответ Vasil Stryzhak по идее наилучший. Но для разнообразия предложу свой вариант. Вернее адаптированный вариант Росинки Роса (поскольку она строила "перпендикуляр" к внутренней точке отрезка. А в условии дана концевая точка.
Тогда произведем следующие действия:
Смотрим рисунок.
 1) Проводим произвольную окружность с центром в тточке C и радиуса R < CA
Черная окружность на рисунке. При пересечении окружности с отрезком CA получим M
На этой окружности последовательно начиная с точки M делаем засечки равные радиусу R
Окружность разделиться на 6 равных дуг. Нас интересует 3-я засечка - это диаметрально противоположная точка N (Точка N будет принадлежать прямой AC)
2) Проводим две окружности (красные) с центром в M и с центром в N и радиусами = MN
пересечение окружностей и будет искомая точка B

Не знаю зачем пишу этот ответ. Хоть вопрос был немного другим и ЛО выбран. Но судя по комментариям и ответам, многие не понимают, что построение одним циркулем - это построение именно только циркулем. Без каких либо линий. И математическая справедливость меня заедает. Пусть будет этот ответ. Может кому то поможет осознать разницу.
В оригинальном вопросе (как указал автор в комментарии) "построить прямоугольный треугольник, у которого известен катет "а" и гипотенуза "с". Причем только циркулем.
Сразу оговорим, чтоб было понимание. При построении циркулем нет никаких прямых. Прямая задаётся двумя точками. Отрезок так же задается 2 точками. Треугольник задаётся 3 вершинами.
То есть когда задан катет "а" - это 2 точки. Раствором циркуля можно отмерить только его длину
Аналогично гипотенуза "с" - это тоже 2 точки.
Прежде чем строить проведем анализ. Известно, что вписанный угол в окружность опирающийся на диаметр - прямой
Соответственно. В окружности у которой диаметр будет равен "с" и одна из хорд от конца диаметра будет равна "a", получится искомый прямоугольный треугольник.
Смотрим рисунок (анализ)
То есть, чтоб получить прямоугольный ∆ABC, с данной гипотенузой AB=с и катетом BC=a
Надо построить три его вершины. Для этого надо:
1) построить окружность радиуса OA = c/2
2) Найти на этой окружности диаметрально противоположные точки (A и B)
3) Отложить от точки B до пересечения с окружностью расстояние BC = a
Начнем по порядку.
Итак дано: BC = a (катет) - две точки и AB = c (гипотинуза) - две точки (смотрим рисунок Дано)
1) Будем строить окружность диаметра AB=c. Для этого надо разделить AB пополам и найти середину O (смотрим рисунок)
1 Строим окружность радиуса AB (черная)
2 На этой окружности от точки B, радиусом AB делаем 3 засечки и получим диаметральную точку D
3 Проводим окружность (D; DB) - синяя окружность
4 Проводим окружность (B; AB) - зеленая окружность (получим точки пересечения с синей окружностью M и N)
5 Проводим 2 окружности (M; AB) и (N; AB) - красные окружности. Они пересекутся в точках  O и B; Точка O - будет искомой серединой AB
Полное доказательство проводить не буду, чтоб не перегружать чертёж, но кто хочет может порисовать. Суть сводится к тому что ∆MDB и ∆OMB равнобедренные и подобные с коэффициентом 2
Теперь имея точки A; О; B - по построению находятся на одной прямой и O середина AB
Я построю на отдельном рисунке, но в принципе
 2) Строим прям там окружность (O; OA) - черная окружность
3) Строим окружность (B; BC) - зеленая окружность (точка пересечения окружностей будет точка C)
Таким образом получены вершины прямоугольного треугольника ABC, у которого гипотенуза AB = c; катет BC = a, построен только циркулем и только по заданным размерам катета и гипотенузы.

Метод,которым баловались на уроках геометрии ( это было ну очень давно) подобен тому что предложила Росинка, только попроще.
Смотрим на её первый рисунок и теперь проводим одинаковые дуги  радиусом  МС= ВN из точек М и N
Получаем две точки пересечения этих дуг (верхнюю и нижнюю),и проводим через них линию.Эта линия и есть перпендикуляр к данной линии.проходящий через точку А.
Надо сказать,что подобный метод применялся нами на уроках для разбиения отрезка пополам без применения линейки, только с помощью циркуля. Это его оборотная сторона.
Почитал комментарии к предыдущим решениям. Построение без линейки означает,что нельзя пользоваться её делениями,но не означает отказ от проведения с её помощью прямых линий,иначе и линию ни в одном из решений невозможно провести.

Искомую точку В можно получить, как засечку двух дуг:
одна дуга из точки C радиусом CD = √3 единиц, другая дуга из точки D радиусом DB = 2 единицы. Длина CD = 1 единица.
Отрезок длиною в √3 единиц получается (смотрите рисунок ниже), как отрезок FH, обе окружности радиусом в 1 единицу.