В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.

На рисунке к задаче:
точки К и Р - середины отрезков АВ и CD, соответственно,
точки Е и Н - середины отрезков BD и АС, соответственно.
Требуется найти длину отрезка НЕ, соединяющего середины диагоналей AC и BD.
Отрезок КЕ является средней линией треугольника ABD, и значит, он параллелен отрезку AD и равен половине длины AD.
Отрезок РН является средней линией треугольника ACD, и значит, он тоже параллелен отрезку AD и равен половине длины AD.
Следовательно, отрезки КЕ, РН равны, параллельны друг другу и прямой AD.
Отрезок КН является средней линией треугольника ABC, и значит, он параллелен отрезку ВС и равен половине длины ВС.
Отрезок РЕ является средней линией треугольника ВСD, и значит, он тоже параллелен отрезку ВС и равен половине длины ВС.
Следовательно, отрезки КН, РЕ равны, параллельны друг другу и прямой ВС.
Таким образом, в четырёхугольнике НКЕР противоположные стороны попарно равны и параллельны. Кроме того, они перпендикулярны друг другу, как параллельные перпендикулярным прямым AD и ВС.
Получается, что в четырёхугольнике НКЕР все углы прямые, то есть он является прямоугольником. Ввиду того, что в любом прямоугольнике диагонали равны другу и по условию задачи диагональ КР =  1 м, получаем для искомой длины диагонали НЕ равенство:
НЕ = КР = 1 м.
Ответ: 1 м.