Главное меню

Новости:

SMF - Just Installed!

Как решить уравнение с корнями?

Автор Nnd, Март 15, 2024, 04:48

« назад - далее »

Nnd

√(x^2 + 8x + 8) - √(-x^2 - 8x + 4) = 4
Я решал его разными способами, каждый раз получается 4 корня.
Вот один из вариантов решения:
Область определения:
{ x^2 + 8x + 8 >= 0
{ -x^2 - 8x + 4 >= 0
Находим дискриминанты:
{ D1/4 = 4^2 - 1*8 = 16 - 8 = 8 = (2√2)^2
{ D1/4 = (-4)^2 - (-1)*4 = 16 + 4 = 20 = (2√5)^2
Находим корни:
{ x1 = (-4 - 2√2)/1 = -4 - 2√2 ≈ -6,83; x2 = -4 + 2√2 ≈ -1,17
{ x3 = (4 + 2√5)/(-1) = -4 - 2√5 ≈ -8,47; x4 = -4 + 2√5 ≈ 0,472
Область определения:
x Є [-4 - 2√5; -4 - 2√2] U [-4 + 2√2; -4 + 2√5]
Теперь решаем само уравнение. Делаем замену:
t = x^2 + 8x
√(t + 8) - √(4 - t) = 4
Заметим, что область определения: t принадлежит [-8; 4]
Переносим корень направо:
√(t + 8) = √(4 - t) + 4
Возводим в квадрат:
t + 8 = 4 - t + 16 + 8√(4 - t)
2t - 12 = 8√(4 - t)
Сокращаем на 2:
t - 6 = 4√(4 - t)
И снова возводим в квадрат:
t^2 - 12t + 36 = 16(4 - t)
t^2 + 4t - 28 = 0
D/4 = 2^2 - 1(-28) = 4 + 28 = 32 = (4√2)^2
t1 = -2 - 4√2 ≈ -2 - 5,657 = -7,657 > -8 - подходит под обл. определения.
t2 = -2 + 4√2 ≈ -2 + 5,657 = 3,657 < 4 - подходит под обл. определения.
Делаем обратную замену: x^2 + 8x = t
1) x^2 + 8x = -2 - 4√2
x^2 + 8x + 2 + 4√2 = 0
D/4 = 16 - 1(2 + 4√2) = 16 - 2 - 4√2 = 14 - 4√2 ≈ 14 - 5,657 > 0
x1 = -4 - √(14 - 4√2) ≈ -6,88 Є [-4 - 2√5; -4 - 2√2]
x2 = -4 + √(14 - 4√2) ≈ -1,11 Є [-4 + 2√2; -4 + 2√5]
2) x^2 + 8x = -2 + 4√2
x^2 + 8x + 2 - 4√2 = 0
D/4 = 16 - 1(2 - 4√2)  = 16 - 2 + 4√2 = 14 + 4√2 > 0
x3 = -4 - √(14 + 4√2) ≈ -8,43 Є [-4 - 2√5; -4 - 2√2]
x4 = -4 + √(14 + 4√2) ≈ 0,433 Є [-4 + 2√2; -4 + 2√5]
Как видим, все 4 корня входят в область определения.
Но если построить графики:
1) y = √(x^2 + 8x + 8) - √(-x^2 - 8x + 4)
2) y = 4
То получается, что эти графики не пересекаются, то есть решений нет.
Кто найдет ошибку? График прилагается.

Nnd

Вся проблема в том, что возведение в квадрат не является равносильным преобразованием.
Попросту при возведении в квадрат могут появляться дополнительные корни. А ОДЗ никак их появление не ограничивает.
например f(x) = g(x) имеет корень х₁ => (f(x₁))² = (g(x₁))² но не наоборот. (во втором равенстве могут появиться дополнительные корни)
Причем ОДЗ у функций в 1 уравнении и во 2 совпадают.
Поэтому при возведении в квадрат надо дополнительно исследовать и делать дополнительные ограничения, либо после решения делать проверку корней на выполнение равенства исходного уравнения.
В вашем решении есть и арифметическая описка, но она не влияет особо на результат.
t1 = -2 - 2√2 ≈ -4,828 > -8 - подходит под обл. определения.
t2 = -2 + 2√2 ≈ 0,828 < 4 - подходит под обл. определения.
Но далее надо проверить корни подстановкой в √(t + 8) - √(4 - t) = 4
Можно оценить приближенными данными
1) √(-4,828 + 8) - √(4 + 4,828) = √3,172 - √8,828 < 0 и явно не равно 4
2) √(0,828 + 8) - √(4 - 0,828) = √8,828 - √3,172 < 3 и явно не равно 4
Но в идеале можно подставить корни в радикалах и провести аккуратную оценку.
Но вообще можно не доводить даже до поиска корней.
При первом возведении в квадрат
Проводим дополнительное исследование:
4√(4 - t) ≥ 0 => t-6 ≥ 0 => t ≥ 6,
при этом (4-t) > 0 => t < 4
Получили несовместное равенство, то есть у него нет решений. А значит у исходного так же нет решений.
                                                                              

Богдан_Р

После фразы « сокращаем на 2» решение неверное. Я в ответе пояснил почему: на правую часть уравнения тоже накладывается условие t>=6

Zis

Можно еще так-сведение к системе двух уравнений