Решите уравнения подробно описывая каждое действие - что , где и по какой формуле. Некоторые качественные по моему мнению ответы буду награждать кредитами.

               Обе эти задачки на одну и ту же формулу - преобразование произведения тригонометрических функций во что-то другое.
Начнём с первого. Хорошо известно (и вам, в частности, тоже должно быть хорошо известно), что
sinα*cosβ = 1/2[sin(α-β)+sin(α+β)]. Если её применить к задачке, то получим
sin(x+π/3)cos(x+π/6) = 1/2[sin(x+π/3-x-π/6) + sin(x+π/3+x+π/6)] = 1/2[sin(π/6) + sin(2x+π/2)]. Легко видеть, что первое слагаемое в квадратных скобках есть просто число (синус фиксированного угла), а второе по формулам приведения превращается просто в cos2x. Так что уравнение сводится к простейшему, вида cos2x = a.
Второе уравнение решается по той же самой формуле. Если её применить к обеим частям, получится (после сокращения общего множителя 1/2)
sin2x+sin8x = sin2x+sin16x.
Сразу видно, что общий член можно отбросить, и остаётся совсем простое уравнение sin8x = sin16x. Теперь остаётся представить 16 как 2х8, то есть в правой части - синус двойного угла, так что получается
sin8x = 2*sin8x*cos8x.
Напрашивающееся сокращение на общий множитель в лоб делать нельзя - это потеря корней. Поэтому тут двухходовка.
1) Сначала решаем уравнение sin8x=0. Это даст первую группу корней.
2) Теперь полагаем, что sin8x≠0, тогда на него можно сократить, и получается уравнение 2cos8x=1, или cos8x=0,5.
Вот и всё.