По кругу выписано 253 натуральных числа. Известно, что среди любых 5 подряд идущих чисел найдутся хотя бы два чётных. Какое наименьшее количество чётных чисел может быть во всём кругу?

Поскольку в каждой пятерке 2 четных числа, то разобьем 253 на не пересекающиеся пятерки. Таких пятерок получится: 253:5 = 50 пятерок и 3 числа в остатке. В каждой пятерке по 2 четных числа. Итого получаем 50•2 = 100 четных чисел. Но еще есть 3 числа в остатке.
Итак понятно, что меньше 100 четных чисел быть не может.
Предположим, что эти 3 числа могут быть нечетными, тогда предыдущая пятерка должна заканчиваться двумя четными, и первая пятерка (двигаемся же по кругу) должна начинаться двумя четными. Но если первая пятерка начинается с 2 четных, то далее идет 3 нечетных. И следующая пятерка должна начинаться с 2 четных и т.д. Таким образом последняя пятерка будет начинаться 2 четными и заканчиваться 3 нечетными. А далее 3 нечетных не может быть поскольку будет пятерка без четных чисел. Таким образом 100 четных быть не может. Должно быть больше. Тогда проверим, что среди этих трех оставшихся только 1 четное.
Возьмем первые три числа нЧн. Остальные пятерки будут повторять друг друга. И если начнем пятерки с нечетного. С двух нечетных и более нельзя. Тогда получим: нчнчн, ...., нчнчн, нЧн, нчнчн и в середине получим пятерку только с одним четным "н, нЧн, н"
Если начнем пятерки с четного, то обязательно или в середине или в конце будет два или три нечетных подряд. чннчн, или чнчнн, или ччннн, или чнннч. Добавляя в конце такой пятерки "н" из следующей далее тройки получим пять чисел подряд только с одним четным.
Аналогично рассматривая тройку Чнн или тройку ннЧ будет получаться комбинация с оним четным вида ннЧнн
Таким образом 101 четное число тоже невозможно
Тогда пусть в тройке будет 2 четных. Например: ЧнЧ
А далее беря пятерки: ..., нчнчн, ... , нчнчн, ЧнЧ, нчнчн, ... , нчнчн, ...
Получим, что какие бы 5 чисел подряд будут взяты, среди них будет минимум 2 четных числа. И этих четных чисел будет 100 в пятидесяти пятерках и 2 четное в трех оставшихся. Итого 102. А выше показано, что меньше нельзя.
Ответ: минимум 102 четное число.
                                                                              

Рассмотрим любые пять чисел. Среди них обязательно будут два чётных. Пусть это выглядит так:
нннчч,
сдвинемся по кругу по часовой стрелке на одно число:
ннччн,
как видно, можно сдвинуться по часовой стрелке на три числа, оставляя в пятёрке только первые два чётных:
ччннн,
а вот теперь следующие два сдвига должны нам открывать по одному новому чётному числу:
чнннч,
нннчч,
как видно, мы вернулись в первоначальное состояние.
И так, в просмотренной десятке чисел четыре вынужденны по минимуму быть чётными.
У нас 25 десятков, следовательно, чётных чисел будет минимум 100 штук.
Но остаётся ещё три числа (их же 253), какими могут быть они? 
Мы закончили 25-й десяток так, замкнув его на первый десяток:
нннчч???нннчч,
Чтобы и далее было не менее двух чётных чисел в каждой пятёрке, нужно среди этих трёх чисел иметь, как минимум два чётных:
нннччНЧЧнннчч,
итого, получается 102 чётных числа, как минимум.