Двугранный угол A1BCA это что значит?
Что это за угол такой?

Возьмите лист бумаги, согните его (не обязательно пополам) примяв не очень сильно, и потом свободно отпустите. Линия сгиба разделит листок на две части, А и Б. Эти части немного разойдутся, из плоскости не будут совпадать. Вот угол между этими плоскостями А и Б и есть двугранный угол. Величина его измеряется обычным плоским углом, между перпендикулярами, проведенными в двух плоскостях к одной и той же точке на линии сгиба. Или сделайте так. На линии сгиба обозначьте точку. На обеих частях А и Б проведите из этой точки перпендикуляры к линии сгиба, и разрежьте листок по этим линиям. Вот два края разрезов и образуют плоский угол, являющийся мерой двугранного.
Конкретно в Вашей задаче.  Судя по обозначениям, дана некая призма, например трехгранная АВСА1В1С1, и в ней требуется найти двугранный угол. Двугранный угол А1ВСА - обозначение не совсем строгое. Более строго будет так двугранный угол, который содержит на одной грани точку А1, на другой грани точку А, а точки В и С на линии сгиба.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Очень просто, если представить себе две пересекающиеся плоскости в пространстве (в трёхмерном пространстве Евклида), то они пересекутся под неким углом..
При этом если взять одну полуплоскость и примыкающую к ней другую полупоскость (под неким углом) и прямую, которая ограничивает эти полуплоскости, то вот это угол и будет называться двугранным, поскольку находится между двумя гранями..

"Двугранный угол" это понятие в геометрии, обозначающее угол между двумя плоскостями, которые имеют общую прямую (или просто - пересекаются друг с другом). Чтобы проще было понять, возьмите две книги, приставьте одну к другой. Так вот, угол между ними это и есть наш двугранный угол. Вот памятка:

Двугранный угол это угол между двумя пересекающимися плоскостями. Если эти две плоскости пересечь третьей плоскостью, то на третьей плоскости образуется плоский угол, который может иметь любую величину в зависимости от наклона третьей плоскости к двугранному углу.