В квадрате АВСD точки Р и Q — середины сторон АВ и ВС соответственно. Отрезки
СР и DQ пересекаются в точке F.
A) Докажите, что ∠BFP = 45°.
Б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВF, если АВ=2√7.

для удобства доказательства:
нарисуем 4 одинаковых квадрата, равных квадрату АВСDнанесем на чертеж сетку параллельных прямых, параллельных отрезкам СР и DQ, таким образом, чтобы данные прямые пересекали стороны квадратов с шагом 1/2 стороны квадрата АВСDочевидно, данные прямые разбивают чертеж на сетку равносторонних четырехугольников
докажем что данные четырехугольники - квадраты:
прямоугольные треугольники ∆DCQ и ∆PBC равны, значит
∠PCB = ∠CDQ, следовательно треугольники ∆CFQ и ∆DCQ подобны
значит угол ∠CFQ = 90˚
обозначим Х - длина стороны "маленьких" квадратов, тогда:
X² + (2X)² = AB²
X = AB/√5
вопрос A)
отрезок BF - диагональ квадрата, следовательно ∠BFP = 45°.
вопрос Б)
Найти радиус окружности, описанной около треугольника ∆АВF, если АВ=2√7.
отрезки АВ и AF являются диагоналями равных прямоугольников (состоящих из 2-х одинаковых квадратов), следовательно:
АВ = AF т.е треугольник ∆АВF - равнобедренный, следовательно
медиана АК является также биссектрисой и высотой
центр окружности, описанной около треугольника находится на пересечении перпендикуляров, проведенных из середин сторон данного треугольника
точка Р - середина АВ, проведем из нее перпендикуляр до пересечения с медианой АК в точке О
AO - радиус окружности, описанной около треугольника ∆АВF
прямоугольные треугольники ∆APO и ∆AGE подобны (т.к ∠А у них общий), значит:
AO / AP = AE / AG
при этом AE / AG = 2AB / (3*√2*X) = 2AB / (3*√2*AB/√5) = √2*√5/3 = √10/3
AP = AB/2
значит АО = AB/2 * √10/3 = 2√7/2 * √10/3 = √70/3
ответ:
радиус окружности, описанной около треугольника ∆АВF равен √70/3