Дана правильная треугольная пирамида с боковыми ребрами равными 13, медиана основания – 7,5. Найдите высоту пирамиды.

Для правильного решения и понимания задачи нарисуем рисунок.
А теперь разберемся. Правильная треугольная пирамида, означает, что в основании правильный треугольник. То есть ∆ABC - равносторонний.
Боковые ребра равны по 13 (То есть AS = BS = CS = 13)
И у правильного ∆ABC проведем медиану CH = 7,5.
Заметим, что высота в правильной пирамиде падает в центр основания (центр вписанной и описанной окружности). В любом случае, точка O - центр, будет точкой пересечения биссектрис, или высот, или медиан. Так как в равностороннем треугольнике: медиана, высота и биссектриса к любой стороне - совпадают.
А известно, что точка пересечения медиан делит медианы этой точкой в отношении 2 к 1 считая от вершины.
Таким образом OC - 2 части, OH - 1 часть, тогда CH - 3 части
Получаем:  OC = 7,5 : 3 • 2 = 2,5 • 2 = 5
Рассмотрим ∆SOC - прямоугольный, так как SO - перпендикуляр к (ABC). Тогда по теореме Пифагора: SC² = SO² + OC² или SO² = SC² - OC² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
SO = √144 = 12
Ответ: высота пирамиды равна 12   

Высоту можно вычислить через вписанный треугольник. Это получается прямоугольный треугольник (пирамида правильная, значит, высота опустится в центре основания под прямым углом). Из условия получается, что мы имеем длину медианы. А на практике - длину гипотенузы и две длины катета. Значит, нам нужна половина одной из медиан. Далее по Пифагору -
c²=a²+b²
c и а нам известны, значит
b = √c2 − a2
Значит, b = √13² − 6,5²
b=10,5 (приблизительно)