Как это решить Что тяжелее - один километр или один килограм?.

Так как вопрос задан в категории "наука и техника" с тегами "математика", "единица измерения", то автор наверняка имел в виду именно суть "что тяжелее", то есть речь идет именно о массе или весе тела. Но вопрос не завершен. Могу предложить варианты продолжения данного вопроса: Что тяжелее один километр железа или один килограмм железа? или Что тяжелее один километр алюминия или один килограмм алюминия? или Что тяжелее один километр паутины или один килограмм паутины? В такой постановке можно дать ответ на вопрос с научно-технической точки зрения.
Вот, например, вес тонкой вязальной проволоки (диаметр 0,8 мм) равен 0,0395 кг за погонный метр, то есть 1 километр такой проволоки будет равен 39,5 кг. Для проволоки из алюминия такого же диаметра масса 1 км равна 1,356 кг. Для медной проволоки диаметром 0,05 мм - 1,8 кг.
А вот один км паутины весит всего 0,02 грамма.
                                                                              

Длина не измерятся в кг, а масса не измеряется в км.
Если учесть это получим матрицу со значениями.
------------------Длина--------------Масса
Масса------КМ=0*x км----------КГ=1 кг
Длина------КМ=1 км------------КГ=0*y кг
Т.е. Масса тела 1 кг равна 1 кг, а масса 1 км пути может иметь различное значение, но так как нам известно, что сама длина такого свойство, как масса не имеет, то имея выражение для этого свойства, можно составить уравнение/неравенств�о ввида (знак выбран произвольный):
a>b (1), откуда видно что длина при "a" неравных нулю, может быть будет больше или меньше, например, в случаи a>b>0, "a" больше нуля, что соответствует действительности, т.к. масса не имеет отрицательных значений, т.е. "a" и "b" всегда положительные. Но мы вспоминаем, что нам уже известно выражение для длины и массы их массы в специальной матрице, и просто подставляем их в неравенство (1):
a=0*x; b=1.
0*x>1, теперь становится очевидным, что масса всегда тяжелее длины, т.е. кг всегда тяжелее км, банально потому что у длины нет свойства масса.
Но стоит ли на этом останавливаться? Нет!
Ибо с точки зрения физики это выражение неверно, мы допустили банальную ошибку, когда составляли уравнение, мы правильно указали вид выражения, но напортачили с коэффициентами, это произошло, потому что мы рассматривали свойства физических величин не взирая на их принадлежность, т.е. и длина и кг не существуют в вакууме, как мы уже писали это свойства, а значит где-то должны быть и объекты и мы их также указали:
Цитата: "Масса тела 1 кг равна 1 кг, а масса 1 км пути может иметь различное значение..."
Мы также указали и эти злополучные коэффициенты, но в матрицу записали равные их нулями. Данное действие было проделано лишь с целью получить абсолютные значения длины и массы выраженные через массу в системе СИ.
Теперь заменим нуль в обоих случаях на коэффициенты, отличные от нуля, однако давайте разбираться с размерностью коэффициентов!
Масса: КМ=КГ_КМ*x км; КГ=1 кг.
Длина: КМ=1 км; КГ=КМ_КГ*y кг.
Теперь необходимо выяснить, какую размерность имеет коэффициенты КГ_КМ & КМ_КГ, но для начало давайте поймет, а что это?
КГ_КМ - это коэффициент удельной массы к единицы длины, тогда не трудно догадаться, что
КМ_КГ - коэффициент удельной длины, приходящийся на единицу массы.
Ну и математически выразим размерность, что подтвердит наше высказывание:
КГ_КМ=КМ/x и КМ_КГ=КГ/y, да-да именно "x" и "y" теперь имеет смысл, а не просто перемножаются на нуль и вообще "x" - масса в кг, а "y" - длина в км, но ранее мы не писали об этом, ибо рассуждали только о свойствах физ. величины, не учитывая что они кому-то принадлежат, теперь мы это исправили, давайте вернемся к неравенству (1), теперь его ответ заиграет новыми красками:
Было: a=0*x; b=1; 0*x>1.
Стало: a=КГ_КМ*x; b=1; КГ_КМ*x>1.
Видите, что поменялось, теперь очень важен какой аргумент (x) и чему он равен, т.к. a>b, когда
КГ_КМ*x>1, напомню, а точнее уточню: "а" - это параметр массы длины, ну или сама масса длины, в некотором случаи совпадающей с ней размерностью, но только за счет косвенных преобразований.
Итак, давайте теперь решать.
При каких КГ_КМ а>b:
Очевидно будет 3 случая:
1 Случай: КГ_КМ=0, мы его уже рассмотрели, если так, то длина никогда не будет больше массы, т.е. кг>км, хороших физический примеров нет (КГ_КМ=0 не равно даже для вакуума), поэтому отбросим этот вариант;
2 Случай: КГ_КМ>0, тогда КГ_КМ*x>1 или КГ_КМ*x<1, где уже само произведение может быть как больше так и меньше единицы, рассмотрим оба варианта:
2.1 Случай: КГ_КМ*x>1, значит x=1 км & КГ_КМ>1, т.е. длина в км больше обратной величине удельной массы;
2.2 Случай: КГ_КМ*x<1, значит x=1 км & 0<КГ_КМ<1 (*), т.е. длина в км меньше обратной величине удельной массы.
Случаю 2.1 соответствует величина больше единицы, в то время как 2.2 меньше единицы.
И наконец можно сказать, что и это немного неверно, уравнения типа КМ=КГ_КМ*x и КГ=КМ_КГ*y являются линейными, т.е. предполагается однородность тела по массе и длине, в принципе с длиной это более-менее верно, но не с массой, то что мы называли коэффициентом удельной массы к единицы длины у инженеров принято называть по простому "линейная плотность", откуда получается, что это плотность приходящая на 1 длины, но само тело может быть неоднородно и плотность будет нелинейной, но этим как правило пренебрегают, хороший пример это таблица сортамента, там пишут сколько весит 1 метр определенного проката, электрики считаю таким же образом массу проволоки, которую им необходимо приобрести.
Да вы правы, теперь мы от математики перешли к физике, что ж давайте отвечать тогда на этот вопрос, но уже менне занудно, просто привяжу таблицы, а вы там сам решайте, что тяжелее кг или км. Имея тот нехитрый мат. аппарат!
P.S. x=1 км; а y=1 кг, т.к. это четко не оговорено в тексте укажу это здесь.
(*) Удельная масса, как и его старшая сестра - масса тела, не может быть отрицательной, ибо тогда бы тела могли разгоняться более скорости света и мы жили в другой реальности, но пока мы живем в макромире=)

В зависимости от того, что с ними делать - если взвешивать, то один килограмм, если  преодолевать, то один километр.

Тяжелее все таки будет километр, так как километр тяжелее пройти, чем поднять киллограм чего то либо.