Как решить задачу (ЕГЭ математика)?
В треугольнике АВС, изображенном на рисунке, АВ = 8, СН = 12. Найдите DH.

               Для решения этой задачи необходимо вспомнить свойство высоты прямоугольного треугольника, которое звучит следующим образом:
Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.
Тогда согласно рисунку, мы получаем следующие равенства:
В треугольнике АВС с прямым углом А: АH = (AB * AC)) / (BH + HC)В треугольнике АНС с прямым углом H: DH = (AH * HC) / ACПодставим формулу высоты АН в формулу для нахождения DH:
DH = ((AB * AC * HC)/(BH + HC)) / AC
DH = (AB * HC * AC)/((BH + HC) * AC)
DH = (AB * HC)/(BH + HC)
В этой формуле нам известно всё, кроме отрезка BH.
Дабы найти отрезок ВН необходимо воспользоваться свойством, которое очень редко используется в решении задач.
Звучит оно так:
Для катета АВ получаем следующее:
AB = √((ВН + НС) * НВ)
АВ = √(ВН² + ВН * НС)
Возведём обе части в квадрат, подставим известные нам по условию данные и получим квадратное уравнение:
АВ² = ВН² + ВН * НС
8² = ВН² + 12 * BH
ВН² + 12 * BH - 64 = 0
D = 144 + 4 * 64 = 144 + 256 = 400 = 20²
ВН = (-12 ± 20)/2
Отрицательное ВН нас не интересует, так как длина не может быть со знаком "-", а положительное  ВН = 8 / 2 = 4.
Теперь найдём DH по формуле, написанной мною выше, подставив туда значения всех известных отрезков:
DH = (AB * HC)/(BH + HC)
DH = (8 * 12)/(4 + 12)
DH = 96 / 16
DH = 6
Ответ: DH = 6.

               Треугольники ABH и ADH прямоугольные.
∠ABH = ∠DAH как углы со взаимно перпендикулярными сторонами :
AH ⊥ BH и AD ⊥ AB
Отрезок AB параллелен отрезку DH, как перпендикуляры к отрезку AC, поэтому ∠ABH = ∠DHC
Обозначим
∠ABH = ∠DAH = ∠DHC = α
Тогда
AH=ABsinα (из треугольника ABH)
DH=AHsinα (из треугольника ADH)
Подставим AH в выражение для DH:
DH=AHsinα=ABsin²α=8sin²α
Из треугольника DCH:
DH=HCcosα=12cosα
Приравняем оба выражения:
8sin²α=12cosα
8sin²α=12√(1-sin²α)
2sin²α=3√(1-sin²α)
4sin⁴α=9∙(1-sin²α)
4sin⁴α=9-9sin²α
4sin⁴α-9+9sin²α=0
Обозначим x=sin²α
4x²+9x-9=0
Решаем полученное квадратное уравнение:
x₁,₂=(-9±√(9²+4∙4∙9))/8
x₁,₂=(-9±√(81+144))/8
x₁,₂=(-9±√(225))/8
x₁,₂=(-9±15)/8
x₁=6/8=¾
x₂=-24/8=-3, не подходит (величина синуса должна быть меньше единицы).
sin²α=¾
DH = 8sin²α = 8∙¾ = ²⁴/₄ = 6
Ответ: DH = 6