Взяли деревянный (или пластмассовый) угольник с углами 90°, 60°, 30°, как на фото.
Это два подобных треугольника - один большой, а внутри него треугольное отверстие.
Стороны внутреннего треугольника a, b, c см.
Ширина планок n см.
Как найти стороны большого треугольника?
Такой же вопрос для треугольника с углами 90°, 45°, 45°.
И для равностороннего треугольника.

Длина катета а₁ большого треугольника слагается из четырех отрезков. Найдем неизвестные.  Желтый и зеленый треугольники подобны внутреннему треугольнику.Тогда малый катет желтого треугольника равен nа/b, а гипотенуза зеленого треугольника равна nс/b.
а₁ = n(1 + а/b + с/b) + а.
Оставшиеся стороны большого треугольника определяются составлением пропорций. Таково решение задачи в общем виде для прямоугольного треугольника.
На основании изложенного материала несложно получить результаты для указанных треугольников в условии.
                                                                              

Примем с=1, тогда для внутреннего прямоугольного треугольника САВ с острыми углами 60° и 30° а=1/2, в=(√3)/2, в/а=√3, с/в=2/√3. Все прямоугольные треугольники на рисунке Василия подобные и в них соотношения те же что и во внутреннем треугольнике САВ. Обозначим отрезки в жёлтом и зелёном треугольниках на стороне а1 соответственно а2 и с2. Из подобия треугольников следует а2=п/√3, с2=2п/√3. Из рисунка а1=а+п+п/√3+2п/√3=а+�п(1+1/√3+2/√3)= а+п(1+√3)=п+(а+п*√3)�. Если принять п=1/3, то а1=1/2+(1+√3)/3=1,41�..., а1/а=2*1,41...=2,82.�.., аналогично в1/в=с1/с=2,82..., тогда в1=2,44..., с1=2,82... .   .

Стороны внутреннего а, 2а, а√3.
Внешнего − m, 2m, m√3, где m = a + n + n√3.
Для равнобедренного:
Катет внутреннего   а.
Внешнего - а + 2n + n√2.
Для равностороннего:
Сторона внутреннего   а.
Внешнего - а + 2n√3.

В равнобедренном прямоугольнике треугольнике соотношение гипотенузы с к катетам а и в с/а=с/в=√2. Примем с=1, тогда а=в=1/√2 а1=в1=п+а+п+п*√2=а+п�*(2+√2). Например, при п=1/4 а1=в1=1/√2+1/2+1/2*√�2=1,56..., а1/с=1,56..., соответственно с1/с=1,56... и с1=1,56... .  В равностороннем треугольнике а=в=с, а1=в1=с1=а+(п/√3+п*2�/√3)*2= а+2п/√3+п*4/√3=        а+п*(2/√3+4/√3)=а+6п�/√3. Например, при п=1 и а=6 а1=в1=с1=6+6/√3=6+3,�46...=9,36... .

Для того, чтобы решить задачу о треугольнике необходимо вычислить его стороны, в том числе: для  внешнего треугольника (m, 2m, m√3, где m = a + n + n√3), для внутреннего треугольника (а, 2а, а√3). Если треугольник равнобедренный, то для него сторона внутреннего треугольника (а). Если треугольник равнобедренный, то для него катет внутреннего треугольника (а), а  катет внешнего треугольника (а + 2n + n√2).