а) Маша испекла торт, имеющий форму квадрата со стороной 21 см. Затем она выбрала внутреннюю точку на одной из сторон и сделала надрез длиной 20 см из этой точки перпендикулярно выбранной стороне. В итоге Маша сделала так для каждой из 4 сторон. Обязательно ли при этом был отрезан хотя бы один кусок?
б) Решите ту же задачу, если Маша испекла торт в форме правильного шестиугольника диаметра 35 см и сделала от каждой стороны разрез длиной 20 см перпендикулярно этой стороне.

Задача а)
Кусок будет отрезан, если линия надреза достигнет другую сторону или пересечется с другим надрезом (образуют непрерывную линию от одной стороны до другой). Легко понять, что в квадрате перпендикуляр к стороне может пересечь только противоположную сторону, но до нее 21 см, а надрез длинною 20 см, следовательно противоположную сторону разрез не достигнет.
Надо произвести разрезы, чтоб они не пересекались.
Для этого на  стороне отступаем от одного края менее 1 см. (или более 20 см от края) И делам надрез. Аналогичные надрезы от остальных сторон. Таким образом линии надрезов не пересекутся
То есть можно проделать надрезы не отрезав кусок
Пример смотрим на рисунке
Задача б)
Что такое диаметр шестиугольника???
Ну предположим, что это про описанную окружность вокруг шестиугольника. Тогда сторона этого шестиугольника будет равна Радиусу описанной окружности = 17,5 см
Попробуем, как и с квадратом разносить разрезы к краям сторон. Предположим что сделаем разрез из одного угла перпендикулярно одной стороне а из другого угла перпендикулярно другой стороне. Если они пересекутся, то получим прямоугольный треугольник (с углами 60 и 30), где один катет сторона 17,5, а один из разрезов  - гипотенуза. Проверим её длину:
= 17,5/sin60˚= 35/√3 ≈ 20,2 см
Но разрез 20 см (короче) и второй разрез его не пересечет.
Таким образом если резать из углов, перпендикулярно сторонам, то кусок не отрезать.
Но в задаче говорится про внутреннюю точку стороны. А я проверил для конца отрезка. Решать полностью не буду. Надо ведь привести пример. Отступлю 0,1 см разрез будет меньше чем 17,4 / sin60˚ ≈ 20,09
Таким образом можно провести разрезы не отрезав кусок.
Смотрим рисунок
Ну а если про диаметр шестиугольника имелось ввиду вписанная окружность. Тогда сторона шестиугольника будет больше 17,5 см и еще больше будет возможностей для проведения разрезов по 20 см.
                                                                              

Обязательно если хотя бы одна из точек находится на стороне ближе или равно 20 см. Если они все дальше, то кусок, хотя бы один будет. Доказательство на скрине:
Доказательство на скрине:
D = 35 см. Вычисляю размер стороны шестиугольника по формуле:
а = D/V3 =
35/√(3) = 20,2072594216 ~ 20 см.
Значит тоже самое. Повторюсь:
Обязательно если хотя бы одна из точек находится на стороне ближе или равно 20 см. Если они все дальше, то кусок, хотя бы один будет. Доказательство на скрине: