В коробку длиной 20 см и шириной 13 см положили 2 шара, радиусами 5 и 6 см.
Какой должна быть минимальная высота коробки, чтобы оба шара в неё поместились, и можно было закрыть крышку?

Придется делать два построения. На первом мы построим размещение шаров в коробке в плане (вид сверху). Делал на колене за 5 минут, за качество извиняюсь. Только для наглядности.
Зная размеры коробки и радиусы шаров, определяем горизонтальную проекцию расстояния между центрами шаров. Строим прямоугольный треугольник. Катеты.
9см = 20-11; 2см=(6+1)-5; Гипотенуза - корень из 85 (4+81).
Второе построение (фронтальный вид сечения по линии, соединяющей центры шаров), оно аналогично, правда, меньший шар будет находиться выше и они соприкасаются (окружности не пересекаются).
Опять прямоугольный треугольник. Гипотенуза - сумма радиусов=11см. Катеты: корень из 85 (горизонтальная проекция расстояния между центрами шаров). Второй катет - разница по высоте между центрами шаров. Корень из (121-85). Это 6см.
Теперь определяем минимальную высоту стенок коробки. Это радиус большого шара, разница высот их центров и радиус второго шара. 6+6+5=17см.
Ответ: минимальная высота стенок коробки, при которой ее можно накрыть крышкой, равна 17 см.
                                                                              

У коробки длина 20 см и ширина 13 см. Имеем 2 шара у которых диаметр 10 и 12 см. В ширину у нас 2 шара умещаются, так как их диаметр меньше 13 см, а вот в длину не умещаются, не хватает 2 см. Значит если в коробку положим шар с диаметром 12 см и на него сверху положим шар с диаметром 10 см, то уже нам понадобится коробка высотой 22 см, но у верхнего шара есть возможность немного скатится вниз по боку нижнего шара на 4 см, значит высота коробки должна быть 18 см.

Мне кажется, ответ очевиден - это 6,5 см. То есть высота коробки должна быть 6,5 см.