В Комарово три семьи решили построить общий колодец.  Ивановы проживают в 100 м от Петровых  и 120 м от Сидоровых. В свою очередь дома Петровых и Сидоровых уделены на 90 м. Иванов предложил копать колодец на равноудаленном расстоянии от домов.
-Я не согласен, - возразил ему Сидоров, - у тебя в семье три души, а у меня восемь. Представь себе, насколько нам больше придется ходить  за водой.
Его поддержал Петров, у которого семья из пяти человек. Тогда решили построить колодец так, чтобы  суммарный путь к колодцу, приходящийся на всех членов каждой семьи, был одинаков.
Мужики взяли длинную веревку и колышки, принялись определять местоположение колодца. Их дети-школьники, наблюдая за взрослыми, сообразили, как можно вычислить нужные расстояния от домов до колодца и сели за компьютер. По окончании работы взрослые сравнили свой результат со значениями школьников, остались довольны.
Как взрослые определили местоположение колодца, а школьники вычислили расстояния?

Не думаю, что данный материал можно считать решением. Но в задачах есть два интересных момента. Первый, это непосредственно само решение, второй, это полученный ответ. Боюсь, что в данном случае, мне более интересен ответ и вообще его возможность.
Итак, мы имеем треугольник со всеми известными сторонами. Это дает возможность определить все его параметры и в том числе координаты вершин.
Напишем уравнения окружностей, центры которых находятся в вершинах треугольника. При этом их радиусы будут находиться в зависимости от численности членов семей.
Где Ik расстояние между домом Иванова и колодцем.
Три уравнения, три неизвестных. Но меня не очень вдохновляет решение системы уравнений из трех квадратных. Попробую просто переместить бегунок до тех пор пока все три окружности не пересекутся в одной точке. Да и очень даже не известно каким образом решали эту задачу детки "на компьютере".
В результате расстояния до колодца примут следующие значения 94.7; 56,82; 35,5125
Если предположить, что любому члену семьи в сутки нужно одно ведро воды и переноска будет по одному ведру за раз, то любой семье придется пробежать 284.1 метра в одну сторону и столько же на легке.
А далее самое интересное. А если они будут носить по два ведра за раз, то семье Иванова и Петрова придется по одному разу сходить с половинной загрузкой. В тоже время семья Сидорова четыре раза сходят с максимальной рациональностью. Это может внести очередное непонимание в определении координат колодца.
И уж совсем не понятно как три простых мужичка с куском веревки решили такую непростую задачу.
С нетерпением буду ждать авторское решение.
Ссылка на картинку.
P.S.
Впрочем есть еще одно решение, но навряд ли оно порадует селян.
                                                                              

Взрослые натянули веревку между дуумя домами, например, между Ивановыми и Петровыми.
В сумме в этих домах 8 человек. Веревку сложили пополам, потом еще раз пополам, потом еще раз и получили отрезок равный одной восьмой. Со стороны дома Ивановых отложили на линии, которую прочертили заранее по веоевке, пять восьмых. Со стороны Петровых для проверки убедились, что получилось три восьмых. Вбили на этом месте колышек. Потом нужно провести перпендикуляр с помощью египетского треугольника в сторону центра. Затем переходят на другую пару домов, так же делят веревкой каждую сторону пропорционально количеству жильцов и проводят перпендикуляры. Там, где перпендикуляры сходятся и ставят колышек для разметки колодца.
Школьники на компьютере могут рассчитать все аналитически, разделить известные расстояния между домами по пропорции, затем найти точку пересеченич перпендикуляров с помощью таблицы Эксель, задав разные высоты перпендикуляра для каждой сторон и там, где углы совпадут, и будет искомая точка.

Да простят меня математики за топорный стиль, но я подошел к задаче именно с прикладной стороны (с известными оговорками). Итак, живут себе Ивановы (3 чел), Петровы (5 чел) и Сидоровы (8 чел). Взаимное расположение домов легко определить построением треугольника по трем сторонам (циркуль, линейка). Решили они построить общий колодец. В самом общем житейском случае (если допустить, что условия для постройки колодца везде одинаковы и нет других помех в виде рельефа, построек и насаждений) мужики решили бы копать в центре треугольника (на пересечении медиан). В этом случае до колодца: Иванов - 70м, Сидоров - 62м, Петров - 50м.
Иванов предложил делать колодец равноудаленным. То есть, описать точки, обозначающие их дома, окружностью. Здраво. В этом случае каждому идти до колодца 63м (радиус окружности R).
Но Сидоров захотел "справедливости". Он потребовал, чтобы учитывалось количество членов каждой семьи, а значит, количество необходимой воды. Само по себе требование несправедливо, это все равно что требовать, чтобы малодетные Ивановы покупали хлеб в соседней деревне, а Сидоровы в этой. К тому же, колодец строится на десятилетия и при изменениях составов семей "справедливость" теряет смысл.
Уясним, чего требует Сидоров. Он хочет, чтобы работа по обеспечению каждой семьи водой была одинакова. В данном случае это произведение силы на расстояние. Подразумевается, что каждый человек потребляет в сутки одинаковое количество воды, независимо от пола и возраста, для ее перемещения прикладывается одинаковая сила, и эта вода доставляется в дом за 1 раз. Если в каждом доме живет 1 чел., то условие Иванова выполняется, для каждого А=FR. С поправкой на количество членов семьи, суммарная работа составит: Ивановы - 3FR, Петровы - 5FR, Сидоровы - 8FR. Поскольку сила F везде одинакова, в дальнейшем ее опускаем. Ищем среднее значение. 5,33R=339,3.
Нам нужно привести значение работы каждой семьи к среднему. Количество жильцов мы изменить не можем (к тому же, дробные числа тут невыполнимы), будем менять расстояние.
Ивановы: 339,3:3=113м; Петровы: 339,3:5=68м; Сидоровы: 339,3:8=41м. Мы тут можем немного округлять, это нестрашно.
Проводим дуги полученных радиусов, на трех точках пересечения строим "треугольник ошибок" В нем находится нужная нам точка. Находим геометрический центр треугольника. Замеряем расстояния до домов. Ивановы - 100м, Петровы - 58м, Сидоровы - 32м. Сопоставляем затраты на доставку воды. Получаем: Ивановы - 300, Петровы - 290, Сидоровы - 256. Средняя величина - 282. Делим на количество жильцов. Ивановы - 94м, Петровы - 56,4м, Сидоровы - 35,25м. Проводим дуги этих радиусов из соответствующих вершин. Получаем искомое место для колодца с небольшой погрешностью, соизмеримой с размером колодца.

Геометрически задача формулируется так.
На плоскости даны точки А, В и С. Найти множество точек К таких, что |AК| = p·|BК| = q·|CК|, где p и q заданные числа.
Здесь p = 5/3, q = 8/3.
Достаточно знать, что  —
Множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно и не равно единице — окружность.
Её построение элементарно. Такие задачи древние греки решали в III веке до нашей эры с помощью циркуля и линейки.
Здесь пересечение двух окружностей Аполлония — две точки.
Нахождение расстояний это труд физический.
P.S. Логика задачи странная, но реальная.
Странно, почему Петя Иванов должен прошагать за водой почти в два раза больше, чем Ваня Петров?
Реально, что колодцы у нас копают там, куда легче ходить, а не там, где есть хорошая вода.

Верное расположение колодца определил smog2605, составлением трех уравнений, реализовав идею решения графическим калькулятором. 
Рассмотрим авторский вариант в системе координат, который в принципе является разновидностью идеи smog2605. Пусть дом Ивановых в начале координат, а Сидоровых на оси абсцисс. Тогда  расстояние колодца от дома Петровых выразится уравнением
где х и у координаты дома Петровых и колодца.
Примем SК = z, тогда РК = 8z/5  (2), а IK = 8z/3 (3).
Воспользуемся для определения координат дома Петровых и колодца формулами пересечения окружностей
где (а) – расстояние между центрами окружностей. Тогда
Подставляем полученные значения (2), (3), (6),(7), ( и (9) в формулу (1). В результате имеем уравнение с одной неизвестной z.
Вычислить подходящий корень можно воспользовавшись графическим калькулятором или в Excel.
Определить координаты колодца реально и пересечением окружностей Аполлония, но этот прием за внешней простотой, однако, с точки зрения вычисления, трудоемок. Желающие могут им воспользоваться и поделиться здесь своим результатом.
 Свое видение решение задачи с помощью веревки предложил  msb. С небольшими доработками, считаю его наиболее реальным с практической точки зрения. Данный вариант изначально имел ввиду. Рисунок дает наглядное представление построения пересекающихся дуг по точкам. 
Практическая идея построения окружностей Аполлония предложенная Rafail неплохая. Но вот незадача, дома расположены в углах треугольника, следовательно, через строения линию не провести, что усугубляет решение. Выход всегда есть. Так как точки 1,3, 4 лежат на окружности то по ним несложно с помощью веревки определить центр оной. Если  к точкам 5 и 6, добавить седьмую, то будем иметь центр второй окружности. Это так, в плане возможного построения, которое в принципе уже не нужно.
Те, кто считает, что физически задача формулируется в нахождении центра тяжести трёх точек, не правы. Для варианта двух точечных масс и двух семей решения однотипны. Это очевидно вводит их в заблуждение. Колодец «на троих», расположен в другом месте относительно центра тяжести  (на рисунке красный кружок) в одной зоне смещения. В первом случае важны расстояния до колодца, во  втором длина плеч до центра тяжести, где соблюдается равенство крутящих моментов.

Такая задача решается очень просто.
Рисуем на бумаге карту этой деревни, точно соблюдая расстояния между домами.
Кладем карту на стол и сверлим дырки на домах. В каждую дырку пропускаем веревку.
Веревки связываем между собой над столом.
К концу каждой веревки под столом привязываем гирьку весом, пропорциональным количеству людей в каждой избе.
Так вот, где окажется узел, которым связаны все три веревки - там и надо ставить колодец.

Что-то не очень понятна логика задания. Т.е. получается, что к колодцу (за один раз), должен ходить не один член семьи, а все одновременно, или каждый сам по себе, но в день (или в месяц) должны сходить все члены семьи.
Я понял постановку задачи так:
Если каждая семья будет ходить к колодцу всем составом (например по утрам, умываться, и умыться почему-то можно только не отходя от колодца), то восемь Сидоровых в сумме должны пройти такое же расстояние, какое пройдут пять Петровых и трое Ивановых. Наименьшее общее кратное чисел 3, 5 и 8 - 120. Значит если бы всем пришлось проходить расстояние 120 м, то Сидоровы должны проходить 15 м, Петровы 24 м, а Ивановы 40 м. А если суммарное расстояние окажется не 120 м а иным (коэффициент кратности х м), то расстояние от колодца до дома Ивановых должно быть 40х м, от дома Петровых 24х м и от дома Сидоровых 15х м.
Если положение колодца обозначить точкой К, и от неё провести прямые линии к домам (КИ, КП, КС), то получатся три треугольника (КИП, КИС, КПС). Если в каждом из них провести биссектрисы углов с вершинами в точке К, то они разделят расстояния между домами на отрезки, пропорциональные боковым сторона этих треугольников. Что с этим делать дальше, никаких идей нет.

Для разметки верёвкой расстояния между домами в метрах не требуется. Достаточно знать число душ в каждом доме.
Берём верёвку, натягиваем её от дома Ивановых  до дома Петровых. Полученную длину складываем пополам, ещё пополам и ещё пополам. На каждой осьмушке завязываем узелочек. Снова натягиваем верёвку и отсчитываем пять осьмушек от дома Ивановых (или три от дома Петровых). Там, где нужный узелок оказался, ставим мужика и даём ему в руки верёвку, которую натягиваем к дому Сидоровых. Складываем, сколько намерялось, пополам и завязываем там узелок. Снова натягиваем верёвку, и возле узелка ставим ещё одного мужика. Ему уже можно дать в руки лопату: пусть землю роет.
Вычисления проще всего проводить через теорему косинусов. Вначале по трём сторонам находим косинус угла треугольника, в котором находится изба Ивановых, потом тоже по теореме косинусов длину чевианы, делящей расстояние от Ивановых до Петровых в отношении пять к трём. Половина длины чевианы - расстояние от Сидоровых до колодца, для Ивановых в восемь третьих раз больше, а для Петровых в восемь пятых.

Взрослые скорее всего методом тыка - наугад, а потом проверяли. А школьники нарисовали план местности,получился треугольник с расстояниями 120, 100 и 90. Потом они поняли, где центр треугольника, и сдвинули место для колодца на соответствующее расстояние в сторону более населенных домов.