Следует найти два куба, площади поверхности которых - рациональные числа, а общий объем составляет 436 см³.

(17/3)^3 + (19/3)^3=436
Легко (за несколько секунд на компьютере) находится методом перебора.
Аналитически тоже можно, но опять же без перебора не обойтись, поскольку приходится перебирать восемнадцать систем из двух уравнений с тремя неизвестными.
Зная рёбра, уже можно ответить на вопрос по поводу площадей
S1 = 6*(17/3)^2 = 578/3
S2 = 6*(19/3)^2 = 722/3
S1 + S2 = 1300/3
                                                                              

Обозначим объёмы кубов V1 и V2. Поскольку объёмы не могут быть отрицательными, а их сумма рациональное и целое число, то и V1 и V2 не могут быть иррациональными, значит V1 и V2 - рациональные числа. Так как V1=S1*√S1 и V2=S2*√S2, то и √S1 и√S2 - тоже рациональные. Таким образом  длины рёбер кубов рациональные числа. Любое рациональное число можно выразить в виде дроби, числитель и знаменатель которой - целые числа. Обозначим длину ребра первого куба как a/b, а другого как c/d. Получаем уравнение (a/b)^3 + (c/d)^3=436.
Преобразуем его к виду (a*d)^3 + (c*b)^3=436*(b*d)^3.
Обозначим (a*d)=х, (c*b)=у, (b*d)=z.
Осталось методом подбора в целых числах решить уравнение x^3+y^3=436*z^3. Пока я нашёл время для этого, Василий Котёночкин уже нашёл решение x=17, y=19, z=3, поэтому мне не было смысла искать его. Конечно, для полноты решения следовало бы показать (доказать) что это решение единственное, а если оно не единственное, то попытаться найти другие решения, но моего "математического образования" на это не хватает.

Делим объём пополам, извлекаем кубический корень. Получаем длину ребра, с некоторой точностью. Умножаем длину ребра саму на себя, потом на шесть граней, потом на два.
где-то 434 квадратных сантиметра получится.

Я понял, как её решить!
А, нет, судя по ответу Котеночкина, я ни хрена не понял!