Варя захотела расставить цифры в квадрате 4х4 так, чтобы их суммы в строках и столбцах оказались числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Каждую из цифр можно использовать несколько раз. Какое минимальное количество различных цифр ей для этого потребуется? Какое в таком случае наибольшее количество нулей возможно?

Первое что бросается: Сумма в какой-то строке или столбце = 1. Значит эта строка (не умоляя общности, пусть это будет строка) может состоять только из одной "1" и трех "0".
То есть как минимум 2 цифры будут использованы.
В задаче оговаривается, что суммы строк и столбцов разные: от 1 до 8. Сложим их и получим
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
Так как проссумировали все строки - это сумма всех 16 ячеек и все столбцы - это тоже сумма всех 16 ячеек. Получим сумма всех ячеек = 36:2 = 18
Из 16 единиц и нулей не набрать в сумме 18, поэтому 2-х цифр недостаточно.
То есть, как минимум 3 цифры будут использованы.
Теперь попробуем привести пример.
Понятно, что на роль третей цифры не подходит 9; 8; 7; 6, потому что из единиц максимум в строке (столбце) можно получить суммарно 4. И тогда 5 не получить.
Тогда возможно 3-я цифра 5. Немного подумав. Каждая цифра участвует в двух суммах (строка и столбец). Тогда с одной "5" можно построить суммы: 8 и 7. С другой "5" суммы "5" и "6". Итого две "5". До 18 надо 8 единиц и 6 нулей.
Нарисуем один из примеров
Таким образом получили минимально 3 различные цифры. И при этом получили 6 нулей.
Но может есть пример с другими тремя цифрами и большим количеством нулей.
Давайте проверим: Заметим, что единица и ноль присутствует всегда. Нулей будет больше, если меньше будет остальных цифр. А это достижимо чем больше будет третья цифра и чем чаще её можно повторить. Надо набрать в сумме 18
3•5 + 3•1 + 10•0 = 18: Три пятерки невозможно
2•5 + 8•1 + 6•0 = 18: Этот вариант рассмотрели
Меньшие варианты рассматривать смысла нет. Рассмотрим большие варианты
4•4 + 2•1 + 10•0 = 18: Четыре 4 невозможно
3•4 + 6•1 + 7•0 = 18: Строим пример (смотрим рисунок)
Получили 7 нулей.
С тройками: Пять троек невозможно и четыре тройки невозможно.
С двойками: девять двоек невозможно, а меньшее количество уже нет смысла смотреть, нулей будет меньше 7
Ответ: минимально возможно 3 цифры, При этом максимально возможно 7 нулей.
                                                                              

Обойтись двумя различными цифрами (0 и 2) у Вари не выйдет, потому, что тогда максимальная сумма по строке и по столбцу будет равна:1+1+1+1=4, а по условию болжна быть равна 8.
Придётся использовать три различных цифры в разных сочетаниях:
0, 1, 20, 1, 30, 1, 40, 1, 5Проставляя эти цифры в клеточки квадрата 4×4 можно получить суммы по строкам и столбцам от одного до восьми.
Заполняем цифрами строки слева направо, а столбцы сверху вниз и считаем результаты:
Строка 1 : 0 + 0 + 0 + 1 = 1Строка 2 : 0 + 0 + 1 + 1 = 2Столбец 1: 0 + 0 + 1 + 2 = 3Столбец 2: 0 + 0 + 2 + 2 = 4 Столбец 3: 0 + 1 + 2 + 2 = 5Столбец 4: 1 + 1 + 2 + 2 = 6Строка 3 : 1 + 2 + 2 + 2 = 7Строка 4 : 2 + 2 + 2 + 2 = 8Пример заполнения
Минимальное количество различных цифр равно 3, а количество нулей зависит от того, какие цифры используются
На рисунке количество нулей равно 5.
Если использовать цифры 0,1,4, то наибольшее количество нулей будет равно 7.
Ответ: минимальное количество различных цифр равно 3, а наибольшее число нулей равно 7 (при заполнении цифрами 0,1,4 или 0,1,5)