Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что если наклонные не равны, то бОльшая наклонная имеет бОльшую проекцию.

Доказать, что большая наклонная имеет большую проекцию можно разными способами. Допустим из точки А к плоскости проведены две наклонные АВ  и АС, причем АВ>AC. АО перпендикуляр к плоскости. Нужно доказать, что ОВ больше ОС (см рисунок, в общем случае точки А,В,О не лежат в одной плоскости, просто у меня рисунок получился таким. Это не влияет на доказательство).
Первый способ, самый простой. Рассмотрим треугольники АВО и АСО. Это прямоугольные треугольники. Мы можем просто сравнить углы ВАО и САО. Понятно, что против большего угла лежит больший катет, то есть ОВ больше ОС.
Второй способ. Находим тангенсы углов ВАО и САО. tg BAO>tgCAO, так как чем больше угол, тем больше тангенс угла. Значит и отношения ВО/АО больше СО/АО или ВО больше СО.