Стороны АВ и ВС прямоугольника АВСD равны соответственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С и перпендикулярная к прямой ВD, пересекает сторону АD в точке М, а диагональ ВD - в точке К. Найдите площадь четырёхугольника АВКМ.

Смотрим рисунок:
Можно решать различными способами. Предложу такой
S(ABKM) = S(ABCD) - S(∆BKC) - S(∆CMD)
1) S(ABCD) = 6•8 = 48 см²
2) Смотрим ∆ABD - прямоугольный и ∆MKD - прямоугольный; угол D у них общий => ∠KMD = ∠ABD
Тогда ∆MDC подобен ∆BAD по двум углам: ∠M = ∠B и ∠A = ∠ADC = 90˚
Тогда AD/CD = AB/MD и MD = AB•CD/AD = 6•6/8 = 4,5 см
И AD/CD = BD/CM и CM = CD•BD/AD = 6•BD/8 = 0,75•BD
Тогда S(∆CMD) = 1/2 • MD•CD = 1/2•4,5•6 = 13,5 см²
3)∆ABD - прямоугольный, BD = 10 (пифагорова тройка 6; 8; 10 кратная 2 от тройки 3;4;5;)
Тогда CM = 0,75•10 = 7,5 см
4)∠BCK = ∠CMD (накрест лежащие при параллельных прямых и секущей CM)
Тогда  ∆BKC подобен ∆CDM по 2 углам: ∠BCK = ∠CMD и ∠BKC = ∠CDM = 90˚
=> S(∆BKC) / S(∆CMD) = (BC/CM)² откуда
S(∆BKC) =  (BC/CM)² • S(∆CMD)
S(∆BKC) = (8/7,5)² • 13,5 = 15,36 см²
5) S(ABKM) = 48 - 15,36 - 13,5 = 19,14 см²
Ответ: S(ABKM) = 19,14 см²