Стороны трапеции ABCD относятся, как 1:2:3:4, а средняя линия равна 2,7 см. Найти периметр трапеции.

Задача не так проста, как кажется на первый взгляд.
Дано, что стороны соотносятся как 1:2:3:4. Обозначим традиционно одну сторону за "х"
и получим 1 сторона = х, 2 сторона = 2х, 3 сторона = 3х, 4 сторона = 4х
Но в задаче не сказано, что эти стороны идут по порядку, да даже если и так не понятно откуда начинать этот порядок. И в зависимости от расположения сторон будут разные ответы. И возникает подозрение, что не все трапеции будут существовать. Тогда надо проверить это.
Итак пусть Трапеция ABCD (AB - меньшее основание, CD - большее)
Тогда возможны варианты: AB = {1; 2; 3} - 3 варианта
И для AB = 1 будет 3 варианта основания CD = {2; 3; 4}
Для AB = 2 будет 2 варианта основания CD = {3; 4}
Для AB = 3 будет 1 варианта основания CD = {4}
Рассмотрим эти 6 возможных различных вариантов
Вариант 1:
AB = 1; CD = 2
Для наглядности нарисуем рисунок. В остальных вариантах будем действовать аналогично.
Предположим такая трапеция есть, строим и проводим AK || ВС.
DK = DC - KC = DC - AB = 2-1 = 1 (так как AB=KC, то от длины нижнего основания отнимем длину верхнего). И получим ∆DAK - у которого 2 стороны равны боковым сторонам трапеции, а одна сторона равна разности оснований.
В первом варианте получаем ∆ со сторонами 4; 3; 1. Проверяем его на неравенство ∆. Например 4 < 3+1 - но это не так 4=3+1.
Значит такого ∆ не существует и трапеции тоже.
2 Вариант
AB = 1; CD = 3
Аналогично рассуждая:
Тогда получим треугольник со сторонами (3-1) = 2; 2; 4
Проверяем неравенство ∆: 4 < 2+2 - не верно
Такой трапеции не существует
3 Вариант
AB = 1; CD = 4
Аналогично рассуждая:
Тогда получим треугольник со сторонами (4-1) = 3; 2; 4
Проверяем неравенство ∆: 4 < 3+2; 3 < 2 + 4; 2 < 3+4; - все неравенства выполняются
Такая трапеция существует.
4 вариант
AB = 2; CD = 3
Аналогично рассуждая:
Тогда получим треугольник со сторонами (3-2) = 1; 2; 4
Проверяем неравенство ∆: 4 < 1+2 - не верно
Такой трапеции не существует
5 вариант
AB = 2; CD = 4
Аналогично рассуждая:
Тогда получим треугольник со сторонами (4-2) = 2; 1; 3
Проверяем неравенство ∆: 3 < 2+1 - не верно
Такой трапеции не существует
Вариант 6
AB = 3; CD = 4
Аналогично рассуждая:
Тогда получим треугольник со сторонами (4-3) = 1; 2; 3
Проверяем неравенство ∆: 3 < 2+1 - не верно
Такой трапеции не существует
В результате имеем единственно возможный вариант:     
Когда основания = 1х и 4х
Поскольку средняя линия равна полусумме оснований, то составляем уравнение:
2,7 = (1х+4х)/2
5,4 = 5х
х = 1,08
Тогда периметр:
P = х + 2х + 3х + 4х = 10х
P = 10•1,08 = 10,8 см
Ответ: 10,8 см
                                                                              

Средняя линия трапеции равна полсуммы основания и вершины. Но они неизвестны. Известно только соотношения 1:2:3:4.
Принимаю одну часть за "ч". Тогда периметр Р = 1ч + 2ч + 3ч + 4ч = 10ч.
Разберу варианты:
1) Верх = 1, основание = 2, тогда (1ч + 2ч)/2 = 2,7. 3ч/2 = 2,7. Умножу на 2:
3ч = 5,4.
ч = 5,4/3 = 1,8 см.
Р = 1,8*10 = 18 см. 
2) Верх = 1, основание = 3, тогда (1ч + 3ч)/2 = 2,7. 2ч = 2,7.
ч = 2,7/2 = 1,35 см.
Р = 1,35*10 = 13,5 см. 
3) Верх = 1, основание = 4, тогда (1ч + 4ч)/2 = 2,7. 5ч/2 = 2,7. Умножу на 2:
5ч = 5,4.
ч = 5,4/5 = 1,08 см.
Р = 1,08*10 = 10,8 см.
4) Верх = 2, основание = 4, тогда (2ч + 4ч)/2 = 2,7. 3ч = 2,7.
ч = 2,7/3 = 0,9 см.
Р = 0,9*10 = 9 см.
5) Верх = 3, основание = 4, тогда (3ч + 4ч)/2 = 2,7. 7ч/2 = 2,7. Умножу на 2:
7ч = 5,4.
ч = 5,4/7 = 0,77142857142 см.
Р = 0,77142857142*10 = 7,7142857142 ~ 7,71 см. 
Мой ответ: Периметр трапеции равен: 10,8 см.
А задача-то оказалась с подвохом! Исходя из доказательств в этом ответе, из 5-ти представленных мной вариантов 4 трапеции невозможны. Значит правильный ответ будет:
3) Верх = 1, основание = 4, тогда периметр равен 10,8 см.

Обозначим длину наименьшей стороны трапеции ABCD через х, тогда остальные стороны будут равны 2х,3х,4х, а именно АВ=х, ВС=2х, CD=3х, AD=4х (так как по условию стороны трапеции ABCD относятся, как 1:2:3:4). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть (BC+АD)/2=2,7 см. Тогда (BC+АD)=2*2,7=5,4. То есть 2х+4х=5,4. Оттуда х=0,9 см. Периметр трапеции равен сумме всех сторон: Р=х+2х+3х+4х=10х. Р=10*0,9=9 см. Ответ: 9 см.