Как решить задачу при помощи системы рациональных уравнений:
"Сумма цифр двузначного числа равна 9. Сумма квадратов этих же цифр равна 41. Если от искомого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число"?
(Никольский. Алгебра. 8 класс. № 556 б)

Пусть первая цифра искомого двузначного числа А, а вторая цифра - В.
При этом первое равенство примет вид
А + В = 9
Сумма же квадратов этих цифр будет равна
А² + В² = 41
Само же искомое число можно представить в виде
Х = 10А + В
если же из этого числа, как говорится в условии задачи, вычесть 9, то получим число написанное те ми же цифрами, но в обратном порядке, т.е. это число можно представить в виде
У = 10В + А.
Таким образом последнее выражение из условия задачи можно представить в виде
Х - 9 = У
10А + В - 9 = 10В + А
10А + В - 9 - 10В - А = 0
9А - 9В - 9 = 0
А - В - 1 = 0
А = В + 1
Собственно, уже на этом этапе можно понять, что за число загадано ( первая цифра числа на единицу больше второй, а их сумма равна 9 ), но можно и найти их решив систему уравнений:
А + В = 9
А = В + 1
Подставим значение А из второго выражения в первое и получим
( В + 1 ) + В = 9
А = В + 1
2В + 1 = 9
А = В + 1
2В = 8
А = В + 1
В = 4
А = 4 + 1 = 5
Вывод: искомое число равно 54
Второй вариант решения:
А + В = 9
А² + В² = 41
В = 9 - А
А² + ( 9 - А )² = 41
В = 9 - А
А² + 81 - 18А + А² - 41 = 0
В = 9 - А
2А² - 18А + 40 = 0
В = 9 - А
А² - 9А + 20 = 0 решаем квадратное уравнение любым способом и находим возможные значения А
А² - 9А + 20 = 0
( А - 5 ) * ( А - 4 ) = 0
А(1) = 5 или А(2) = 4
Для каждого А находим соответствующее значение В:
В = 9 - А
В(1) = 9 - А(1) = 9 - 5 = 4
или
В(2) = 9 - А(2) = 9 - 4 = 5 ( этот вариант нам не подходит т.к. по условию первая цифра числа должна быть больше второй)
Вывод: искомое число 54
                                                                              

По условию задачи можно составить три уравнения, несмотря на то, что неизвестных всего два (цифры двузначного числа).
Итак, запишем двузначное число в виде ВА. Тогда искомое число равно 10В+А, а перевёртыш 10А+В. Составим уравнения, используя условия задачи:
А+В=9
А²+В²=41
10В+А-9=10А+В
Упростим последнее выражение:
9В-9А=9
В-А=1
Поскольку неизвестных два, то для решения достаточно двух уравнений. Составим систему из первого и последнего уравнений, т.к. они проще.
А+В=9
В-А=1
Сложим эти уравнения
2В=10
В=5
Подставив найденное значение в любое из уравнений, найдем А.
А=4
Получается число 54.
Осуществим проверку, используя оставшееся выражение А²+В²=41.
16+25=41 (верно).
Ответ: искомое число 54.

Ответы на вашу серию вопросов про решение при помощи систем рациональных уравнений уже есть.Просто добавлю для разнообразия ответ, не основанный на этих системах.
Пусть наше число АВ. Тогда:
А+В=9 (1)
ВА+9=АВ---а это означает, что В+1=А (2)
(например 23+9=32,то есть 3=2+1 или 28+9=37 и 8=7+1)
Подставим (2) в (1)
В+1+В=9
В=4
А=5
Ответ:наше число 54
РS: условие про квадраты лишнее.

Чтобы решить эту задачу максимально быстро, начнем с последнего условия. Что нужно, чтобы число при отнимании 9 переворачивалось? Очевидно, чтобы оно состояло из соседних цифр. Значит нам надо взять 2 соседние цифры, которые в сумме дают 9. Очевидно, что это 4 и 5. Проверяем, что оставшееся условие выполнилось. Как видите, задача слишком легко решается, чтобы еще и уравнение писать.