Существует ли треугольник со сторонами 2см, 3см, 4см ?

Вспоминаем школьный курс геометрии. Чтобы треугольник существовал, длина каждой его стороны должна быть меньше, чем сумма длин двух остальных сторон. Проверяем, взяв за пример самую длинную сторону нашего треугольника. Получаем: 2 + 3 = 5. Пять больше четырех - таким образом, данный треугольник существует.
                                                                              

Да, конечно, существует. И это можно показать без всяких расчетов и построений на бумаге - достаточно представить себе такое "построение" в уме. Итак, представим себе отрезок длиной 3 см. Мысленно прикрепим к левому его концу "на шарнире" конец отрезка, длина которого 2 см. Понятно, что расстояние между вторым (незакрепленным) концом этого отрезка и правым концом 3-сантиметрового отрезка может быть разным, в зависимости от угла поворота "на шарнире". Максимальное расстояние - когда два отрезка выстроились в прямую линию - это 5 см (но треугольника не получится). Второй крайний случай (и минимальное расстояние) - когда короткий отрезок совместился с длинным. Тогда расстояние между концами будет 1 см. Любые другие положения "на шарнире" дают реальные треугольники, в том числе с тупым углом, третья сторона которого изменяется от 1 + ε (где ε - малая величина) до 5 - ε. Очевидно, что 4 лежит между 1 и 5. Таким образом треугольник со сторонами 3, 4 и 5  возможен. Представить себе "двигающийся на шарнире отрезок" намного быстрее, чем читать приведенное длинное объяснений!

Легко. Так как 2 + 3 > 4. [А также 2 + 4 > 3 и 3 + 4 > 2]
То есть, возьмем сторону 4. Если к её концам "привинтить" отрезки 2 и 3 и попытаться их соединить другими концами, они где-то соединятся над (или под) отрезком "4".
В общем случае, пусть дано a, b, c. Существует ли треугольник?
Если не рассматривать вырожденные треугольники (площадь которых равна 0), необходимым и достаточным условием существования треугольника со сторонами a, b, c является выполнение 3-х условий:
a + b > c
a + c > b
b + c > a
Разумеется, предполагается что a > 0, b > 0, c > 0.
По теме вопроса см. также тут.

Видела школьное задание: треугольник со сторонами 2, 3 и 4 см является: 1) тупоугольным; 2) остроугольным; 3) прямоугольным?
Правильный ответ - треугольник с заданными сторонами существует, и является он тупоугольным.
А проверить, существует ли треугольник, просто: нужно взять две стороны с наименьшими цифровыми обозначениями, сложить их. Если получится число большее, чем значение третьей стороны, которая не участвовала в расчетах, то тогда треугольник существует.