Как решить Точка М принадлежит гипотенузе АВ прямоугольного треугольника.. Как решить?.

Обозначу катеты и гипотенузу по буквам противолежащих углов. Тогда АВ = с, АС = в, СВ = а.
Площадь треугольника высчитывается по формуле: ав/2 = 100 см^2. Треугольник АТМ подобен Треугольнику АВС. У них угол А общий и они прямоугольные. Тоже самое и с треугольником МВН. Меньший катет в 2 раза больше большего катета. Значит НВ = 4/2 = 2 см. А катет А = 8 + 2 = 10 см.
Исходя из формулы площади катет В = 100*2/10 = 20 см. К тому же АТ = МТ*2 = 8*2 - 16 см. А катет В = АТ + ТС (так как ТС = МН) = 16 + 4 = 20 см. Сходится. Проверка подтверждена.
Мой ответ: катеты треугольника АВС равны Меньший А = 10 см, а больший В = 20 см.
                                                                              

Поблагодарим Иру за превосходный рисунок и, воспользовавшись им, решим задачу (на всякий случай заметим, что на рисунке опущены перпендикуляры MT=8 см и MH=4 см на катеты AC и BC, соответственно).
Из прямоугольника MHCT:
TC=MH=4см, HC=MT=8 см.
Обозначим искомые величины катетов
AC=x, BC=y (единица длины — сантиметры — здесь и далее опускается),
откуда
AT=AC-TC=x-4, BH=BC-HC=y-8.
Прямоугольные треугольники ABC, AMT и MBH подобны по равным углам, поэтому между их катетами выполняется отношение
AC/BC=AT/MT=MH/BH
или, с учётом введённых обозначений
x/y=(x-4)/8=4/(y-8)
— эта цепочка равенств по сути дела содержит три равенства, причём, в силу свойства пропорции «если a/b=c/d, то a/b=c/d=a±c/b±d»,
они равносильны между собой и для решения в качестве уравнения достаточно выбрать любое из них, пусть это будет
x/y=(x-4)/8
В качестве второго уравнения системы с неизвестными x и у следует взять условие на площадь треугольника
xy/2=100
Упростим систему:
8x=xy-4y
xy=200
и, подставив xy из второго уравнения в первое:
8x=200-4y,
выразим y через x:
y=50-2x,
и, подставив его во второе уравнение:
x(50-2x)=200,
получим квадратное уравнение относительно x:
2x^2-50x+200=0 или, разделив его на 2,
x^2-25x+100=0.
Его корни x1=5, x2=20;
соответствующие им корни у системы (из соотношения y=50-2x):
y1=40, y2=10.
Как видим, задача имеет два решения.
Ответ: {AC=5 см, BC=40 см} или {AC=20 см, BC=10 см}.
Заметим, что равенство в одном из решений отношений между катетами треугольника отношению между сторонами вписанного в него прямоугольника — лишь совпадение и его бы не было при других значениях исходных данных, например, при другой площади треугольника.